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Folgen

Folgen

Definition und Darstellung von Folgen

Eigenschaften von Folgen: Monotonie

Eigenschaften von Folgen: Beschränktheit

Eigenschaften von Folgen: Konvergenz und Divergenz

Wichtige Folgen: Arithmetische Folge, Potenzfolge, Geometrische Folgen

 

 

Definition und Darstellung von Folgen

Merke

Definition: Eine Zuordnung, die jeder natürlichen Zahl $n \in \mathbb{N}$ eine reelle Zahl an zuordnet, heißt reelle Zahlenfolge.

Bezeichnung: $(a_n) = (a_1, a_2, ... , a_n)$

$a_n$ heißt $n$-tes Folgenglied.

$n$ heißt Index

 

Folgen lassen sich auf verschiedene Weise beschreiben:

  • verbale Beschreibung: Jeder natürlichen Zahl wird ihre Quadratzahl zugeordnet.
  • Zuordnungsvorschrift: $ n \longmapsto a_n = n^2, n \in \mathbb{N} $, oder kurz $ (a_n) = (n^2)$
  • Wertetabelle:

  • aufzählende Darstellung: $$ (a_n) = (1, 4, 9, 16, 25,...) $$
  • graphische Darstellung:

In obigem Beispiel wurde das n-te Folgenglied durch einen Term beschrieben, in dem der Index n auftritt.

Vereinfacht ausgedrückt sind wir hier wie bei reellen Funktionen vorgegangen: Die abhängige Variable an (bei reellen Funktionen $y$) wurde mit Hilfe der unabhängigen Variable n (bei reellen Funktionen $x$) dargestellt.
Folgen können auch durch Rekursion (Bezugnahme auf vorangehende Folgenglieder) definiert werden wie im Beispiel mit der Fibonacci-Folge.

Beispiel

Beispiel Fibonacci-Folge

Die Fibonacci-Folge wird rekursiv durch die folgenden Festlegungen definiert: $$ a_1 = 1, a_2 = 2, a_{n+2} = a_{n+1} + a_n $$

Daraus lassen sich sämtliche Folgeglieder berechnen: $$ a_1 = 1 \\ a_2 = 2 \\ a_3 =a_2 +a_1 =2+1=3 \\ a_4 =a_3 +a_2 =3+2=5 \\ a_5 =a_4 +a_3 =5+3=8 \\ $$

In aufzählender Darstellung ergibt sich also $(a_n) = (1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .)$.

 

Weitere Beispiele für Folgen

Hier sind weitere Beispiele von Folgen mit Wertetabelle und graphischer Darstellung:

 

Eigenschaften von Folgen: Monotonie

Merke

Definition: Eine Folge $(a_n)$ heißt:

  • monoton wachsend, wenn für alle $n \in \mathbb{N}$ die Beziehung $a_n \leq a_n + 1 $ gilt;
  • streng monoton wachsend, wenn für alle $n \in \mathbb{N}$ die Beziehung $a_n \lt a_n + 1$ gilt;
  • monoton fallend, wenn für alle $n \in \mathbb{N}$ die Beziehung $a_n \geq a_{n+1}$ gilt;
  • streng monoton fallend, wenn für alle $n \in \mathbb{N}$ die Beziehung $a_n \gt a_{n+1}$ gilt.

Bei Folgen muss keine Monotonie vorliegen. So ist beispielsweise die Folge $(a_n) = ((-1)^n)$ weder monoton steigend, noch monoton fallend.

Beispiel

Beispiel 1

Die Folge $n \longmapsto n + 1, (a_n) = (n + 1) = (2,3,4,5,...)$ ist streng monoton wachsend.

 

Beispiel 2

Die Folge $ n \longmapsto \frac{1}{n}, (a_n) = (\frac{1}{n}) = (1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5},...) $

Graphische Darstellung:

Die Folge $(a_n)$ ist streng monoton fallend

Beweis der Behauptung: $$ \begin{align} n &\lt n + 1 \qquad | : n(\gt 0) \\ 1 &\lt \frac{n+1}{n} \qquad | : (n+1)(\gt 0) \\ \frac{1}{n+1} &\lt \frac{1}{n} \end{align} $$ also $a_{n+1} \lt a_n$ für alle $n \in \mathbb{N}$.

 

 

Eigenschaften von Folgen: Beschränktheit

Merke

Definition: Eine Folge $(a_n)$ heißt

nach oben beschränkt, wenn es einen bestimmten Wert $S_0$ (obere Schranke) gibt, so dass für alle $n \in \mathbb{N}$ die Ungleichung $a_n \leq S_0$ gilt;

nach unten beschränkt, wenn es einen bestimmten Wert $S_u$ (untere Schranke) gibt, so dass für alle $n \in \mathbb{N}$ die Ungleichung $a_n \geq S_u$ gilt;

beschränkt, wenn sie nach unten und nach oben beschränkt ist.

Beispiel

Beispiel 1

$ n \longmapsto \frac{1}{n}, (a_n) = (\frac{1}{n}) = (1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5},...)$

Für alle $ n \in \mathbb{N}$ gilt: $ 0 = \frac{0}{n} \leq \frac{1}{n} = a_n = \frac{1}{n} \leq \frac{n}{n} = 1$.

Die Folge $(\frac{1}{n})$ besitzt daher die obere Schranke $S_0 = 1$ und die untere Schranke $S_u = 0$. Mithin ist $(\frac{1}{n})$ beschränkt.

 

Beispiel 2

$ n \longmapsto n + 1, (a_n) = (2,3,4,5,...)$

Für alle $ n \in \mathbb{N}$ gilt: $ 1 \leq n + 1$.

Die Folge $(n + 1)$ besitzt daher die untere Schranke $S_u = 1$ und ist insbesondere nach unten beschränkt.

 

Beispiel 3

Jede monoton wachsende Folge $(a_n)$ ist nach unten beschränkt. Sie besitzt die untere Schranke $a_1$.

 

Eigenschaften von Folgen: Konvergenz und Divergenz

Merke

Eine Zahl $g$ heißt Grenzwert der Zahlenfolge $(a_n)$ genau dann, wenn es zu jedem $\epsilon \gt 0$ einen Index $n_0$ gibt, so dass für alle $n \geq n_0$ gilt: $$ | a_n - g| \lt \epsilon $$

Schreibweise: $\underset{n \rightarrow \infty }{lim} a_n = g $

Besitzt eine Zahlenfolge einen Grenzwert $g$, so sagt man auch, die Folge konvergiert gegen den Grenzwert $g$.

Zu jeder (noch so kleinen) Zahl $\epsilon$ gibt es einen Index $n_0$, so dass alle Folgenglieder der Folge mit einem Index $n \geq n_0$ von dem Grenzwert $g$ einen kleineren Abstand als $\epsilon $ haben. Man sagt auch: Nur endlich viele Folgenglieder liegen außerhalb des "$\epsilon $-Schlauchs" um $g$.

Je kleiner man $\epsilon $ wählt, umso größer ist i.A. $n_0$ zu wählen, d.h. umso mehr Folgenglieder liegen außerhalb des $\epsilon $-Schlauchs. Wichtig ist nur: Ab einer Stelle liegen alle folgenden Glieder innerhalb des $\epsilon $-Schlauchs.

Eine Zahlenfolge kann höchstens einen Grenzwert haben.

Jede monoton wachsende (bzw. fallende) und gleichzeitig beschränkte Folge ist konvergent. Der Grenzwert entspricht der kleinsten oberen (größten unteren) Schranke der Folge.

Jede konvergente Zahlenfolge ist beschränkt. (Wie das Beispiel $(a_n) = ((-1)^n)$ zeigt, gilt die Umkehrung i.A. nicht.)

Jede Teilfolge einer gegen den Grenzwert $g$ konvergierenden Folge konvergiert ebenfalls gegen den Grenzwert $g$.

Eine Folge muss nicht konvergieren. So konvergiert beispielsweise die Folge $((-1)^n)$ nicht. Nicht-konvergente Zahlenfolgen heißen divergent.

Beispiel

$n \longmapsto \frac{n}{n+1}, (a_n) = \frac{n}{n+1} = \left(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4},\frac{4}{5},...\right) $

Diese Folge nähert sich der Zahl 1 immer mehr an.

Graphische Darstellung

In obigem Beispiel sieht man, dass die Folge $(a_n) = \frac{n}{n+1}$ gegen den Wert 1 konvergiert. Wählt man wie in der graphischen Darstellung $\epsilon $ = 1, so liegen ab $n_0 = 6$ alle Folgenglieder innerhalb des "$\frac{1}{6}$-Schlauchs" um die Zahl 1.

Außerhalb des "$\frac{1}{6}$-Schlauches" findet man nur endlich viele Folgeglieder, nämlich die Glieder $a_1$ bis $a_5$.

Entsprechend ist für $\epsilon $ = $\frac{1}{1000}$ die Wahl $n_0 = 1000$ zu treffen, damit alle nachfolgenden Glieder innerhalb des "$\frac{1}{1000}$" -Schlauches um die Zahl 1 liegen.

 

Wichtige Folgen: Arithmetische Folge, Potenzfolge, Geometrische Folgen

Merke

Arithmetische Folge

Eine Folge, bei der alle Folgenglieder die gleiche Differenz zu ihrem Nachfolger haben, heißt Arithmetische Folge.
Eine solche Folge ist beispielsweise $a_n = 2n$, also die Folge der geraden Zahlen. Hier hat jedes Folgenglied die Differenz 2 zu seinem Nachfolger. Ganz allgemein haben arithmetische Folgen die Form: $$ a_n = a_0 + d \cdot n $$

Die Differenz zwischen den einzelnen Folgengliedern kann man dann direkt am Parameter d ablesen. Da $d \cdot 0 = 0$, ist $a_0$ hier direkt das erste Folgenglied.

 

Potenzfolge

Folgen der Form: $$ a_n = n^k $$

nennt man Potenzfolgen. Es ist klar, dass für $k = 1$ eine arithmetische Folge entsteht.
Potenzfolgen mit $k \lt 0$ können umgeschrieben werden als $a_n = \frac{1}{n^{-k}}$, die (für negative $k$) gegen 0 konvergiert.
Für $k = -1$ ergibt sich die Harmonische Folge.

 

Geometrische Folgen

Bei arithmetischen Folgen haben die Folgenglieder untereinander immer die gleiche Differenz. Geometrische Folgen sind dadurch charakterisiert, dass zwei aufeinanderfolgende Folgenglieder immer das gleiche Verhältnis zueinander haben.

Anders ausgedrückt, der Quotient $ \frac{a_{n+1}}{a_n} = q$ ist für alle $n$ immer der gleiche. Formal ist eine geometrische Folge definiert durch: $$ a_n = a_0 \cdot q^n $$

Auch hier bezeichnet $a_0$ direkt das erste Folgenglied, da $q^0 = 1$ ist und man somit $a_0$ erhält. Geometrische Folgen konvergieren für $|q| \lt 1$ gegen 0, für $q = 1$ gegen $a_0$, und für alle anderen Werte von $q$ divergieren sie.

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