Skip to content Skip to navigation

Extremwertaufgaben

Extremwertaufgabe Grundlagen

Beispiel Extremwertaufgabe: Bestimmung des Extremwerts der Zielfunktion

Beispiel Extremwertaufgabe: Abstand

Beispiel Extremwertaufgabe: Umfang

Beispiel Extremwertaufgabe: Flächeninhalt

Beispiel Extremwertaufgabe: Oberfläche

Beispiel Extremwertaufgabe: Volumen

Beispiel Extremwertaufgabe: Kurvenfläche

 

 

Extremwertaufgabe Grundlagen

 

Merke
  • Bei Extremwertaufgaben wird oft von einem variablen Kurvenpunkt $P(u|v)$ einer vorgegebenen Funktion $f$ ausgegangen, für den durch jede Position ein Körper, eine Fläche oder eine Strecke festgelegt ist. Dann kann man versuchen die Position zu finden, bei der zum Beispiel das Volumen oder die Oberfläche des Körpers, der Flächeninhalt bzw. der Umfang der Fläche oder der Abstand zu irgendeinem anderen Punkt maximal oder minimal wird.
  • Die jeweilige Größe wird dann durch eine bestimmte Funktion $z$ (die sogenannte Zielfunktion) beschrieben, die von den Koordinaten $u$ und $v$ des variablen Kurvenpunktes abhängt. Dabei musst Du alle waagrechten Streckenlängen, die zur Bestimmung der Zielgröße nötig sind, mit $u$ und die senkrechten mit $v$ ausdrücken.
  • Anschließend kannst Du im Funktionsterm Deiner Zielfunktion noch die Variable $v$ durch $f(u)$ ersetzen, da ja $P(u|v)$ ein Punkt auf der Kurve der Funktion $f$ ist.
  • Wird zur Definition der Zielfunktion statt einem Kurvenpunkt eine senkrechte Gerade mit der Geradengleichung $x = u$ variiert, dann kann diese auch mehrere Punkte erzeugen, indem man die Schnittpunkte mit verschiedenen gegebenen Funktionen $f$, $g$, usw. betrachtet.
  • Die zum Aufstellen der Zielfunktion nötigen Streckenlängen können dann aber genauso mit Hilfe von $u$ in waagrechter Richtung und $f(u)$, $g(u)$ usw. in senkrechter Richtung ausgedrückt werden.

 

 

Beispiel Extremwertaufgabe: Bestimmung des Extremwerts der Zielfunktion

Merke
  • Zur Bestimmung des Punktes $P (u|v)$ (oder der senkrechten Geraden $x = u$) auf der Kurve von $f$, für den die Zielfunktion extremal (also maximal oder minimal) wird und zur Bestimmung dieses Extremwerts rechnest Du die Extrempunkte von $z$ aus.
  • Gibt es im Inneren des Definitionsbereichs von $z$ (das ist der Definitionsbereich ohne den Rand) nur einen Extrempunkt $E(u_0|z(u_0))$, dann ist $z(u_0)$ das Minimum oder Maximum der Zielfunk- tion (je nachdem ob $E$ ein Tief- oder Hochpunkt ist).
  • Der Punkt $P(u|v)$ (bzw. die Gerade $x = u$) bei dem die Zielfunktion ihren Extremwert annimmt, hat dann die Koordinaten $P(u_0|f(u_0))$ (bzw. die Gerade die Gleichung $x = u_0$).

Beispiel

Die Ableitungen von $z(u) = 2ue^{-u}$ mit dem Definitionsbereich $u \geq 0$ sind: $$ z'(u) = 2(1-u)e^{-z} \textrm{ und } z''(u) = 2(u-2)e^{-u} $$

Aus $z'(u) = 0$ folgt $u = 1$. An dieser Stelle ist wegen $z''(1) = -2e^{-1} \lt 0$ ein Hochpunkt von $z$. Da das der einzige Extrempunkt im Inneren des Definitionsbereichs ist, hat $z$ mit der Geraden $x = 1$ den maximalen Wert $z(1) = \frac{2}{e}$.

 

Die Zielfunktion für den Umfang ist $z(u) = 2u + 2 + \frac{8}{u}$ mit $u \gt 0$ und hat als Ableitungen: $$ z'(u) = 2 - \frac{8}{u^2} \textrm{ und } z''(u) = \frac{16}{u^3} $$

$z'(u) = 0$ hat die Lösungen $u = \pm2$. Davon liegt nur $u = 2$ im Inneren des Definitionsbereichs, was wegen $z''(2) = 2 \gt 0$ den einzigen Tiefpunkt für $z$ ergibt. Daraus folgt mit $f(2) = 3$, dass $z$ beim Punkt $P(2|3)$ den minimalen Wert $z(2) = 10$ annimmt.

 

Die Flächen-Zielfunktion $z(u) = \frac{1}{2}u^3e^{-u}$ mit $u \geq 0 $ als Definitionsbereich hat die Ableitungen: $$ z'(u) = (\frac{3}{2}u^2-\frac{1}{2}u^3)e^{-u} \textrm{ und } z''(u) = (\frac{1}{2}u^3 - 3u^2 + 3u)e^{-u} $$

Hier gibt es für $z'(u) = 0$ die Lösungen $u = 0$ und $u = 3$, wobei aber $u = 0$ auf dem Rand des Definitionsbereichs (also nicht im Inneren) liegt.

$z$ hat deshalb im Inneren nur einen Extrempunkt bei $u = 3$ und zwar wegen $z''(3) = \frac{9}{2}e^{-3} \lt 0$ einen Hochpunkt.

Das ergibt dann mit der Geraden $x = 3$ für die Zielfunktion den maximalen Wert $z(3) = \frac{27}{2}e^{-3}$.

Die zweite Flächen-Zielfunktion hatte die Form $z(u) = \frac{1}{8}u^3 + \frac{3}{2}u + \frac{9}{2u}$ mit $u \gt 0$ und mit den beiden Ableitungen: $$ z'(u) = \frac{3}{8}u^2 + \frac{3}{2} - \frac{9}{2u^2} \textrm{ und } z''(u) = \frac{3}{4}u + \frac{9}{u^3} $$

Die Extrempunktbedingung $z'(x) = 0$ hat als Lösungen $u = 2$ und $u = -6$, wobei die zweite nichts zu sagen hat weil $u \gt 0$ gelten soll.

Die andere Lösung ist aber wegen $z''(2) = \frac{21}{8} \gt 0$ die Stelle für einen Tiefpunkt von $z$, und zwar für den einzigen im Inneren des Definitionsbereichs. Deshalb nimmt $z$ für den Punkt $P(2|f(2))$ (mit $f(2) = \frac{3}{2}$) den minimalen Wert $z(2) = \frac{25}{4}$ an.

 

 

Beispiel Extremwertaufgabe: Abstand

Es sind die zwei Funktionen $f(x) = e^{-x}$ und $g(x) = (2x + 1)e^{-x}$ gegeben. Die Gerade mit der Gleichung $x = u (u \geq 0)$ schneidet das Schaubild von $f$ in $P$ und das von $g$ in $Q$. Wir bestimmen die Abstandsfunktion $z$ zwischen den beiden Punkten.

$P$ und $Q$ haben die Koordinaten $P(u|f(u))$ und $Q(u|g(u))$. Sie liegen übereinander und zwar liegt $Q$ über $P$, denn für $u \geq 0$ gilt $g(u) > f(u)$ (was man nach Division der Ungleichung durch $e^{u}$ sehen kann).

Für den Abstand, der eine senkrechte Strecke ist, gilt deshalb: $$ z(u)=g(u) - f(u) = (2u+1)e^{-u} - e^{-u} = 2ue^{-u} $$

 

Beispiel Extremwertaufgabe: Umfang

Gegeben ist die Funktion $f(x) = 1 + \frac{4}{x}$. Die Parallelen zu den Koordinatenachsen durch einen Kurvenpunkt $P (u|v) (u > 0)$ begrenzen mit den Achsen ein Rechteck. Der Umfang des Rechtecks soll durch eine Zielfunktion in Abhängigkeit von $u$ beschrieben werden. Dabei gilt allgemein für den Umfang von Rechtecken: $$ U = 2a + 2b $$

wenn $a$ und $b$ die Seitenlängen sind. Die Seiten von dem beschriebenen Rechteck sind direkt durch die Koordinaten von $P$ gegeben, es gilt also für die Zielfunktion: $$ z(u) = 2u + 2v = 2u + 2 (1 + \frac{4}{u}) = 2u + 2 \frac{8}{u} $$

 

Beispiel Extremwertaufgabe: Flächeninhalt

Gegeben sind die Funktionen $f(x) = (1 + x^2)e^{-x}$ und $g(x) = e^{-x}$. Die senkrechte Gerade mit der Gleichung $x = u (u \geq 0)$ schneidet die Schaubilder von $f$ und $g$ in den Punkten $P$ und $Q$.

Der Ursprung $O$ und die Punkte $P$ und $Q$ bilden ein Dreieck. Wie sieht dann die Zielfunktion aus, die den Flächeninhalt des Dreiecks beschreibt? Für die Fläche $A$ von beliebigen Dreiecken gilt die Formel: $$ A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h $$

Bei unserem Dreieck können wir als Grundseite die Strecke $PQ$ verwenden, die sich aus der Differenz der $y$-Werte von $P$ und $Q$ ergibt, da $P$ über $Q$ liegt $f(u) = (1+u^2)e^{-u}$ ist für $u>0$ nämlich größer als $g(u)=e^{-u}$. Es gilt also $g=(u^2+1)e^{-u} - e^{-u} =u^2e^{-u}$. Für die Höhe $h$ zu dieser Grundseite gilt $h = u$, und so sieht dann die Zielfunktion aus: $$ z(u) = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} u^2e^{-u}u = \frac{1}{2} u^3e^{-u} $$

 

 

Im zweiten Beispiel geht es um eine Dreiecksfläche, die von einer Tangente an eine Funktion begrenzt wird. Und zwar nehmen wir die Funktion $f(x) = \frac{2+x^2}{x^2}$ und einen Kurvenpunkt $P(u|v)$ mit $u > 0$. Die Tangente an $f$ durch den Punkt $P$ begrenzt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck, dessen Fläche durch die Zielfunktion beschrieben werden soll. Dazu wird zuerst die Tangentengleichung an der Stelle $u$ aufgestellt: $$ \begin{align} t: y = f'(u)(x-u) + f(u) &\Leftrightarrow y = - \frac{4}{u^3}(x-u) + \frac{2}{u^2} + 1 \\ &\Leftrightarrow y = -\frac{4}{u^3}x + \frac{6}{u^2}+1 \end{align} $$

Die Tangente schneidet die $y$-Achse bei $y = \frac{6}{u^2} + 1$ und die $x$-Achse bei $x = \frac{3}{2}u + \frac{1}{4}u^3$. Diese beiden Werte können als Grundseite $g$ bzw. Höhe $h$ des Dreiecks verwendet werden, d.h. die Zielfunktion für die Fläche hat die Form: $$ z(u) = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \left(\frac{6}{u^2} +1 \right) \left( \frac{3}{2}u + \frac{1}{4}u^3 \right) = \frac{1}{8}u^3 + \frac{3}{2}u + \frac{9}{2u} $$

 

Beispiel Extremwertaufgabe: Oberfläche

Der Punkt $P(u|v) (u > 0)$ soll ein Punkt auf der Kurve der Funktion $f (x) = \frac{3}{x^3}-1$ sein. Die Punkte $P$, $Q(u|-1)$, $R(0|-1)$ und $S(0|v)$ bilden ein Rechteck.

Die Zielfunktion soll die Oberfläche des Zylinders beschreiben, der entsteht, wenn sich das Rechteck um die Seite $RS$ dreht (die auf der $y$-Achse liegt).
Die Oberfläche eines Zylinders hat die Formel: $$ O = 2\pi r^2 + 2\pi r h $$

wobei $r$ der Grundkreisradius und $h$ die Höhe ist. Hier in unserem Fall ist $r = u$. Wegen $v = f(u) = \frac{3}{u^3} - 1 \gt -1$ liegt $P(u|v)$ über $Q(u|-1)$, d.h. die Höhe $h$ des Zylinders ergibt sich aus $h = v -(-1) = v + 1 = \frac{3}{u^3}$. In die Oberflächenformel eingesetzt ergibt das die Zielfunktion: $$ z(u) = 2 \pi u^2 + 2 \pi u \frac{3}{u^3} = 2 \pi u^2 + \frac{6\pi}{u^2} $$

 

 

 

Beispiel Extremwertaufgabe: Volumen

Für $0 \leq u\leq \sqrt{2} $ soll $P(u|v)$ ein Kurvenpunkt von $f(x) = x^4 - 4x^2 + 4$ sein $Q$ der Punkt mit den Koordinaten $(-u|v)$. $P$ und $Q$ begrenzen mit dem Ursprung $O$ ein Dreieck, das bei Rotation um die $y$-Achse einen Kegel erzeugt. Gesucht ist die Zielfunktion, die das Volumen des Kegels beschreibt.

Dazu wieder zuerst die allgemeine Formel für das Volumen von Kegeln: $$ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h $$

Hier bezeichnet $r$ den Grundkreisradius, und $h$ die Höhe des Kegels. Weil das Dreieck um die $y$-Achse rotiert, entspricht $u$ dem Radius und $v$ der Höhe. Eingesetzt in die Volumenformel bedeutet das für die Zielfunktion: $$ z(u) = \frac{1}{3} \pi u^2 v = \frac{1}{3} \pi u^2 (u^4 - 4u^2 + 4) \\ = \frac{1}{3} \pi (u^6 - 4u^4 + 4u^2) $$

 

Beispiel Extremwertaufgabe: Kurvenfläche

Im letzten Beispiel bewegt sich kein Punkt auf einer Kurve, sondern es ist die Funktion $f_u(x) = (2u - u^2)x^2 + (u^2 - 2u + 2)x$ gegeben.

Sie schneidet eine zweite Funktion $g(x) = 2x^2$ unabhängig von $u$ im Ursprung und im Punkt $(1|2)$, so dass dadurch eine Fläche eingeschlossen wird.

Die Frage ist, wie der Flächeninhalt durch eine Zielfunktion in Abhängigkeit von $u$ beschrieben werden kann. Es gilt für die Fläche $A$ zwischen den Funktionen: $$ \begin{align} A &= \left|\int_{0}^{1}{f_u(x) - g(x)}dx\right| \\ &= \left|\int_{0}^{1}{(2u - u^2 - 2)x^2 + (u^2 - 2u + 2)x dx} \right| \\ &= \left| \left[ \frac{1}{3}(2u - u^2 - 2)x^3 + \frac{1}{3}(u^2-2u+2)x^2 \right]^{0}_{1} \right| \\ &= \left| \frac{1}{6}u^2 - \frac{1}{3}u + \frac{1}{3} \right| \end{align} $$

Die Zielfunktion ist also festgelegt durch $z(u) = \frac{1}{6}u^2 - \frac{1}{3}u + \frac{1}{3} $, wobei der Betrag weg gelassen werden kann, da $z$ nur positive Werte annimmt.