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Ebenenscharen

 

Merke
  • Taucht in der Koordinatenform einer Ebene außer den Koordinaten $x_1$, $x_2$ und $x_3$ ein Parameter auf, bzw. in der Parameterform außer den Parametern vor den Richtungsvektoren noch ein zusätzlicher Parameter, dann handelt es sich um eine sogenannte Ebenenschar.
  • Wie bei den Geradenscharen geht es dann meistens darum, wie dieser Scharparameter gewählt werden muss, damit die dazugehörige Ebene eine vorgegebene Bedingung erfüllt.

 

 

Beispiel

Beispiel 1: Für welche Werte von $s$ hat die Ebene $E$ mit der Koordinatengleichung $x_1 - 2x_2 + 2x_3 + s = 1$ vom Punkt $P(1|0|1)$ den Abstand $d(E;P) = 2$?

Mit der Hesseschen Normalform von E und der Abstandsformel kann diese Bedingung als Gleichung formuliert werden: $$ \left|\frac{1-2 \cdot 0+2 \cdot 1 +s-1}{3} \right| =2\Longleftrightarrow \left|2+s\right| =6 $$

Diese Gleichung hat die beiden Lösungen $s = 4$ und $s =-8$ für den gesuchten Parameter $s$.

 

Beispiel 2: Gegeben ist die Ebenenschar $E_s : sx_1 + (3 - 2_s)x_2 + x_3 = 4$ und die Ursprungsgerade $\vec{x}=t\left(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right) $.

Es soll gezeigt werden, dass keine Ebene dieser Schar die Gerade schneidet. Um die Schnittmenge zu berechnen, setzen wir die Geradenkoordinaten in die Ebenengleichung ein: $$ s \cdot 2t + (3-2s) \cdot t -3t = 4 \Longleftrightarrow 0 = 4 $$

Diese Gleichung ist unabhängig von $s$ falsch, deshalb gibt es für kein $s$ einen Schnittpunkt.

 

Beispiel 3: Für welchen Wert von $s$ ist die Ebene $E_s : -4x_1 + sx_2 - 3sx_3 = 1$ orthogonal zur Ebene $E : x_1 + 2x_2 + x_3 = 0$?

Sind zwei Ebenen orthogonal zueinander, wenn ihre Normalenvektoren orthogonal sind, also wenn ihr Skalarprodukt den Wert Null ergibt: $$ \left(\begin{matrix} -4 \\ s \\ -3s \end{matrix} \right) \bullet \left(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right) =0\Longleftrightarrow (-4) \cdot 1 + s \cdot 2 + (-3s) \cdot 1 = 0 $$

Diese Gleichung hat die Lösung $s = -4$ was bedeutet, dass $E_{-4}$ orthogonal zu $E$ ist.

 

 

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