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Ebene durch zwei Geraden

 

Merke
  • Wenn sich zwei Geraden $ g_1 : \vec x = \vec u_1 + s \vec v_1 $ und $ g_2 : \vec x = \vec u_2 + t \vec v_2 $ schneiden oder parallel sind, dann spannen sie eine Ebene auf. Die Parameterform kannst Du z.B. so aufstellen: $$ E : \vec x = \vec u_1 + s \vec v_1 + t \vec w $$
  • Dabei hängst Du also an die Gleichung von $ g_1 $ nur noch $ t \vec w $ hinten an, wobei $ \vec w $ entweder der Richtungsvektor $ \vec v_2 $ von $ g_2 $ ist falls sich die Geraden schneiden oder der Vektor $ \vec u_2 - \vec u_1 $ (bzw. $ \vec u_1 - \vec u_2 $, das ist egal) falls die Geraden parallel sind. Genausogut kannst Du $ t \vec w $ auch an die Geradengleichung von $ g_2 $ anfügen, wobei im Fall zweier sich schneidender Geraden entsprechend $ \vec u = \vec v_1 $ gilt.

 

 

Beispiel

Die beiden Geraden haben die Gleichungen

$ g_1 : \vec x = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} $ und $ g_2 : \vec x = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} $

Diese schneiden sich, was man am gemeinsamen Stützvektor und den linear unabhängigen Richtungsvektoren erkennen kann. Die aufgespannte Ebene hat also z.B. die Parameterform:

$$ E : \vec x = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} $$

Die folgenden Geraden sind parallel:

$ g_3 : \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} ; g_4 : \vec x = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix} $

Als Paramterform der aufgespannten Ebene ergibt sich z.B.:

$$ \begin{align} E : \vec x &= \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + t\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 0 \end{pmatrix}\end{Bmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \\ -1 \end{pmatrix} \end{align} $$

 

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