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Direkter Beweis

Beim direkten Beweis überführt man eine wahre Aussage mittels logischer Folgerung in die Behauptung. Da bei korrekter Folgerung aus etwas Wahrem nur etwas Wahres folgen kann, hat man somit die Wahrheit der Behauptung bewiesen.

 

 

Beispiel 1

Die Summe zweier ungerader Zahlen ist eine gerade Zahl.

Beweis: Seien a und b ungerade Zahlen, also $a = 2k + 1$ und $b = 2k' + 1$.

Dann ist $$ \begin{align} a + b &= 2k + 1 + 2k' + 1 \\ &= 2k + 2 k' +2 \\ &= 2 (k + k' + 1) \end{align} $$

also $a + b = 2n$ und damit eine gerade Zahl (für jeweils $k, k', n \in \mathbb{N}$).

 

 

Beispiel 2

$a,b$ sind reel, $a \geq 0$, $b \geq 0$. Zu zeigen: $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$

$$ \begin{align} (a - b)^2 &\geq 0 \\ \textrm{(Binomische Formel)} \qquad a^2 - 2ab + b^2 &\geq 0 \\ \textrm{(Addition von 4ab)} \qquad a^2 + 2ab + b^2 &\geq 4ab \\ \textrm{(Binomische Formel)} \qquad (a + b)^2 &\geq 4ab \\ \textrm{(Wurzelziehen)} \qquad a + b &\geq 2 \sqrt{ab} (a, b \geq 0) \\ \textrm{(Division durch 2)} \qquad \frac{a+b}{2} &\geq \sqrt{ab} \end{align} $$

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