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Was sind Beweise? Wozu brauchen wir Beweise?

Beispiel: gerade und ungerade Zahlen

Was sind Axiome?

Begriffe erklärt: Definition, Satz, Theorem, Lemma, Korollar

Genau dann, wenn

 

 

Was sind Beweise? Wozu brauchen wir Beweise?

Merke

Beweise sind Folgen von anerkannten Schlüssen, die es uns ermöglichen, die Wahrheit einer Aussage mittels bereits bekannter gültiger Sätze zu belegen. Ausgehend von den Axiomen, welche nie bewiesen werden, künnen so einfache und schließlich auch komplizierte Aussagen belegt werden.

  • Das Problem ist: Sollte der Beweis für eine grundlegende Aussage falsch sein, so ist der Beweis für alle daraus bewiesenen Aussage ebenfalls falsch. Damit erklärt sich, wieso es Mathematiker so wichtig ist, jegliche Aussagen formal zu beweisen.
  • Zudem spiegelt sich in Beweisen meist auch das Prinzip der Aussage wieder. Hat man also den Beweis verstanden, hat man auch meist die Aussage selbst verstanden.
  • Ein mathematischer Satz besteht immer aus zwei Teilen: Einer Behauptung in Form einer Aussage und einem Beweis der Gültigkeit dieser Behauptung. Dabei besteht die Behauptung selbst aus Voraussetzungen und der daraus resultierenden Schlussfolgerung. Wenn man also mit $V$ die Konjunktion aller Voraussetzungen bezeichnet und mit $S$ die Schlussfolgerung,
    so hat ein mathematischer Satz die Form "Es gilt $V \Rightarrow S $".
  • Es wird also behauptet, dass diese Implikation wahr ist. Wenn man sich die Wahrheitstafel für die Implikation ansieht, bedeutet das, dass man Folgendes zeigen muss: Wenn die Voraussetzungen erfüllt sind, d.h. wenn $V$ wahr ist, dann ist auch $S$ wahr. Dies muss dann mit einem Beweis nachgewiesen werden.

 

Beispiel: gerade und ungerade Zahlen

Beispiel

Behauptung

  • Voraussetzung: Seien $m$ und $n$ gerade Zahlen.
  • Schlussfolgerung: Dann ist auch $m + n$ gerade.

Beweis: Seien $m$, $n$ gerade Zahlen. Das heißt es gibt zwei ganze Zahlen $m'$ und $n'$, für die gilt: $m=2m'$ und $n=2n'$.Dann ist $$ m + n = 2m' + 2n' = 2(m' + n') $$ also $m + n$ auch gerade.

Das Ende eines Beweises markieren wir oft durch das Symbol $ \square $ wozu wir sagen "Beweis abgeschlossen". Hierfür sieht man auch viele andere Symbole, wie zum Beispiel: q.e.d. (quod erat demonstrandum, aus dem Lateinischen: was zu zeigen war).

Bei einem selbst durchgeführten Beweis ist es immer klug darauf zu achten, ob alle Voraussetzungen verwendet wurden. Ist dies nicht der Fall, ist mit hoher Wahrscheinlichkeit ein Fehler im Beweis, da mathematische Aussagen normalerweise nur die nötigsten Voraussetzungen fordern.

So kann zum Beispiel obige Behauptung nicht bewiesen werden, wenn wir in unserem Beweis nur von beliebigen ganzen Zahlen anstatt von geraden Zahlen ausgegangen wären.

 

Was sind Axiome?

Merke

Zum Beweis einer Aussage dürfen immer nur diejenigen Aussagen verwendet werden, die bisher schon gezeigt wurden. Das Grundgerüst dazu bilden Axiome, also unstrittige Voraussetzungen, auf denen die gesamte Mathematik aufgebaut ist.

Zum Beispiel werden die natärlichen Zahlen formal mithilfe der Peano-Axiome eingeführt, was wir hier aber vermeiden wollen, da dies sehr viel Zeit in Anspruch nehmen würde.

 

 

Begriffe erklärt: Definition, Satz, Theorem, Lemma, Korollar

Merke
Je nach Art und Wichtigkeit einer Aussage unterscheiden wir mit folgenden Namen:
  • Definition: Eine Namensgebung für einen Sachverhalt.
  • Satz: Eine wichtige Aussage.
  • Theorem: Eine sehr wichtige Aussage.
  • Lemma: Ein Hilfssatz, zur Hinführung auf einen Satz.
  • Korollar: Eine direkte Folgerung aus einem Satz.

 

Genau dann, wenn

Merke

Manche mathematischen Sätze sind von der Form: Die Aussage $A$ gilt genau dann, wenn $B$ gilt.

Das bedeutet, dass man zu zeigen hat, dass $A \Leftrightarrow B$ eine wahre Aussage ist. Dazu zeigt man meist, dass die beiden "Richtungen ", also Implikationen, $A \Rightarrow B$ und $B \Rightarrow A$ gelten.

Dieses Vorgehen ist in Ordnung, da die logische Äquivalenz gilt: $A \Leftrightarrow B$ und $(A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow A)$ bewiesen haben.

Bei dieser Gelegenheit noch ein Wort zur Sprechweise: Statt "Wir zeigen, dass $A \Rightarrow B$ eine wahre Aussage ist." oder "Wir zeigen, dass $A \Rightarrow B$ gilt." sagt man in der Mathematik meistens kurz "Wir zeigen $A \Rightarrow B$. ". Genauso ist die Sprechweise "Wir zeigen $A \Leftrightarrow B$." zu verstehen.

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