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Betrag berechnen einfach erklärt

Definition Betrag einer Zahl

Gleichungen mit Beträgen

Ungleichungen mit Beträgen

 

 

Definition Betrag einer Zahl

Merke
  • Der Betrag von $x$, geschrieben als |x|, ist stets eine positive Zahl. Ist $x$ positiv oder gleich 0, dann ist $|x| = x$.
  • Ist a negativ, dann muss beim Auflösen des Betrages das Vorzeichen umgekehrt werden: $|x| = -x$. Die korrekte Definition lautet: $$ \left|x \right| = \left\{ \begin{matrix} a, a \geq 0 \\ -a, a \lt 0 \end{matrix} \right\} $$

 

Gleichungen mit Beträgen

Merke
  • Als Beispiel wollen wir eine Gleichung mit einem Betrag lösen: $$ |x - 2| = 3 $$
  • Zunächst muss - wie bei allen Gleichungen immer - der Definitionsbereich bestimmt werden. Da es hier keine Einschränkungen durch Bruche, Wurzeln oder ähnliches gibt, gilt einfach nur: $D = \mathbb{R}$.
  • Um weiterrechnen zu können, muss der Betrag aufgelöst werden. Da ja für $x$ jede Zahl aus R in Frage kommt, kann man nicht sagen, ob der Inhalt des Betrages positiv oder negativ ist.
  • Wir machen eine Fallunterscheidung. Die beiden Fälle unterscheiden sich dadurch, dass der Betragsinhalt positiv oder negativ ist. Um zu sehen, was in welchem Bereich vorliegt, berechnen wir in einer Nebenrechnung, wo der Inhalt größer oder gleich $0$ ist. $$ x - 2 \geq 0 \qquad | + 2 \\ x \geq 2 $$
  • Im Bereich mit $x \geq 2$ ist demnach der Inhalt des Betrages positiv oder gleich $0$, die Betragsstriche können dann einfach weggelassen werden. Dieser Bereich stellt in unserer Rechnung den ersten Fall dar.
  • Der zweite Fall beinhaltet dann alle anderen Reellen Zahlen, also $x \lt 2$. Mit diesen beiden Fällen führen wir die weitere Rechnung durch $|x - 2| = 3$.
    für $x \geq 2$: $$ \begin{align} x - 2 &= 3 \qquad | + 2 \\ x &= 5 \end{align} $$ für $x \lt 2$: $$ \begin{align} -(x - 2) &= 3 \\ -x + 2 &= 3 \qquad | -2 \\ -x &= 1 \qquad | : (-1) \\ x &= -1 \end{align} $$
  • Natürlich muss man vor Bestimmung der Lösungsmenge prüfen, ob die gefundenen Werte innerhalb der jeweils untersuchten Bereiche liegen. Da $5 \geq 2$ und $-1 \lt 2$ ist, ist das in diesem Beispiel gegeben. Die Lösungsmenge der Gleichung lautet also: $$ L=\left\{5;-1\right\} $$
  • Mit Hilfe einer Probe kann man schnell prüfen, dass diese beiden Lösungen tatsächlich die Gleichung erfüllen.

 

 

Ungleichungen mit Beträgen

Merke
  • Wie bei Gleichungen kann man natürlich auch bei Ungleichungen mit Beträgen rechnen. Die Verfahren sind entsprechend. Ein Beispiel: $$ |2x - 6| \leq x $$
  • Als erstes bestimmt man immer die Definitionsmenge. Hier gibt es jedoch keinerlei Einschränkungen für $x$, es gilt also: $ D = \mathbb{R}$.
  • In diesem Beispiel ist der Betragsinhalt positiv oder Null für $x \geq 3$, wie man leicht mit Hilfe des Ansatzes $2x - 6 \geq 0$ bestimmen kann. Negativ ist dann der Betragsinhalt für $x \lt 3$. Das sind demnach die beiden Fälle fur unsere Fallunterscheidung $ |2x - 6| \leq x $.
    für $x \geq 3$: $$ \begin{align} 2x - 6 &\leq x \qquad \qquad | +6 \\ 2x &\leq x + 6 \qquad | -x \\ x &\leq 6 \end{align} $$ für $x \lt 3$: $$ \begin{align} -(2x - 6) &\leq x \\ -2x + 6 &\leq x \qquad \qquad | - 6 \\ -2x &\leq x - 6 \qquad | - x \\ -3x &\leq -6 \qquad \qquad | : (-3) \\ x &\geq 2 \end{align} $$
  • Die beiden Teillösungsmengen $L_1$ und $L_2$ können aneinander gelegt werden. Bei der Zahl 3 stoßen sie "nahtlos" aneinander an. Die "3" gehört zwar nicht mehr zur Menge $L_2$, aber in $L_1$ ist sie enthalten. Daher können sie zu einer einzigen Menge zusammengefasst werden, wie nachfolgend dargestellt: $$ L = \left\{x|2 \leq x \leq 6\right\} $$

    Darstellung Betrag Zahlengerade
    Darstellung der Lösungsmenge anhand Zahlengerade

 

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