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Berührpunkte

 

Merke
  • Zwei Funktionen $f$ und $g$ haben einen Berührpunkt an der Stelle $x_0$, wenn sie dort denselben Funktionswert und dieselbe Ableitung haben, wenn also $f(x_0) = g(x_0)$ und $f'(x_0) = g'(x_0)$ gilt.
  • Diese beiden Bedingungen müssen also nachgeprüft werden, wenn Du zeigen sollst, dass ein vorgegebener Punkt ein Berührpunkt ist.
  • Wenn Du selber die Berührpunkte von zwei Funktionen bestimmen sollst, löst Du zuerst von den Gleichungen $f(x) = g(x)$ und $f'(x) = g'(x)$ die einfachere nach $x$ auf, und schaust, ob mit der Lösung oder den Lösungen auch noch die andere Gleichung erfüllt ist.
  • Für Berührpunkte kommen also nur solche Lösungen in Frage, die beide Gleichungen erfüllen. Am Schluss rechnest Du zu allen erhaltenen $x$-Werten die Funktionswerte aus und schreibst die Koordinatenpaare als Berührpunkte auf.

 

 

Beispiel

Beispiel 1:

Es soll gezeigt werden, dass sich die Funktionen $f(x) = 3 - 4x^2$ und $g(x) = \frac{1}{x}$ in $B(\frac{1}{2}|2)$ berühren. Die Ableitungen sind $f'(x) = -8x$ und $g'(x) = -\frac{1}{x^2}$, es gilt also $f'(\frac{1}{2}) = -8 \cdot \frac{1}{2} = -4 $ und $g'(\frac{1}{2}) = -\frac{1}{(\frac{1}{2})^2} = -4$.

Die Ableitungen sind damit gleich und genauso die Funktionswerte, denn wir haben $f(\frac{1}{2})=3 - \frac{4}{2^2}$ und $g(\frac{1}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$.

 

Beispiel 2:

Wir berechnen den Berührpunkt von $f(x) = 2e^{x-3}$ und $g(x) = 2x - 4$.

Da sich die Gleichung $f(x) = g(x)$ nicht gut auflösen lässt, versuchen wir es mit der anderen Bedingung $f'(x) = g'(x)$, bzw. $2e^{x-3} = 2$, die nach Division durch $2$ und Logarithmieren zur Lösung $x = 3$ führt.

Damit ist auch die andere Bedingung erfüllt, es gilt nämlich $f(3) = 2e^0 = 2$ und $g(3) = 2 \cdot 3 - 4 = 2$. $B(3|2)$ ist also ein Berührpunkt der Funktionen $f$ und $g$.

 

 

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