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Änderungsrate

Änderungsrate, Differenzenquotient, Differenzialquotient Definition

Die h-Methode zur Berechnung von Tangentensteigungen mit Beispielen

 

 

Änderungsrate, Differenzenquotient, Differenzialquotient Definition

  • Die Änderung einer Funktion auf dem Intervall $[x; x_0 + \Delta x]$ ist: $f(x_0 +\Delta x) - f(x_0))$.
  • Die durchschnittliche Änderung ist: $$ \frac{f(x_0 +\Delta x) - f(x_0)}{(x_0 + \Delta x) - x_0 } $$ Dies wird als Änderungsrate oder Differenzenquotient bezeichnet.

    Differenzenquotient oder Änderungsrate einer Funktion
    Differenzenquotient oder Änderungsrate einer Funktion

  • Der Differenzenquotient einer Funktion $f$ in einem Intervall $[x; x_0 + \Delta x]$ ist gleich der Steigung der entsprechenden Sekante.
    Für die Sekantensteigung gilt: $$ \frac{f(x_0 +\Delta x) - f(x_0)}{(x_0 + \Delta x) - x_0 } = \frac{f(x_0 +\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} $$
  • Der Differenzialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten für $\Delta x$ gegen Null.
    Ist f eine reelle Funktion, dann heißt der Grenzwert $$ \underset{x\rightarrow 0}{lim} = \frac{f(x_0 +\Delta x) - f(x_0)}{x_0}=f'(x) $$ Änderungsrate oder Differentialquotient von $f$ an der Stelle $x_0$.
  • Wenn dieser Grenzwert existiert und für $ \Delta x \lt 0$ und $ \Delta x \gt 0$ gleich ist, so heißt die Funktion $f$ differenzierbar an der Stelle $x$. Die so erhaltene Funktion $f'$ nennt man Ableitung von $f$.
  • Man kann sich unter dem Differentialquotienten an der Stelle $x$ näherungsweise einen Differenzenquotienten in einer sehr kleinen Umgebung von $x$ vorstellen.
  • Mittlere Änderungsrate = Steigung der Sekanten = Differenzenquotient (Quotient aus Differenzen).
  • Lokale Änderungsrate = Steigung der Tangenten = Differentialquotient (Grenzwert des Differenzenquotienten). Der Differentialquotient ist kein Quotient, sondern der Grenzwert eines Quotienten!
  • Sekantensteigungen Tangentensteigung
    Die Sekantensteigungen gehen für $x_n \rightarrow \bar{x}$ in die Steigung der Tangente (und damit in die Ableitung) an der Stelle $\bar{x}$ über.

 

 

Die h-Methode zur Berechnung von Tangentensteigungen mit Beispielen

  • Mit Hilfer der h-Methode kann man den Differentialquotienten durch geeignete algebraische Umformungen berechnen. Man bildet den Differenzenquotienten mit der h-Methode auf folgende Weise: $$ \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{x_0 + h -x_0} = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $$ Nun macht man den Grenzübergang: $$ \underset{x\rightarrow 0}{lim} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $$ Existiert der Grenzwert, hat man die Ableitung von $f$ erhalten. $$ \underset{x\rightarrow 0}{lim} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = f'(x) $$
  • Definition der Ableitung über die h-Methode
    Definition der Ableitung über die h-Methode: Zu den jeweiligen h-Werten sind die dazugehörigen Sekanten eingezeichnet. Für $h \rightarrow 0$ geht die Sekante in die Tangente und somit die Sekantensteigung (Differenzenquotient) in die Tangentensteigung (Ableitung) über.

     

  • Beispiel 1: Was ist die Steigung von $f(x)=4 - x^2$ an der Stelle $x = 2$?
    Bestimme mit Hilfe der h-Methode die Sekantensteigung auf dem Intervall $ [2;2 + h] $ und lasse $h$ dann gegen Null gehen. $$ \begin{align} \frac{\Delta x}{\Delta y} &= \frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \frac{(4 - (2 + h)2) - 0}{h} \\ &= \frac{(4 - (4 + 4h + h2))}{h} = \frac{-4-h^2}{h} \\ &= \frac{h(-4-h)}{h}= -4 -h \\ \end{align} $$ Wenn $h$ gegen Null geht, dann ist der gesuchte Grenzwert $-4$.
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  • Beispiel 2: $f(x)=x^2$ $$ \begin{align} f'(x) &= \underset{h\rightarrow 0}{lim} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \\ &= \underset{h\rightarrow 0}{lim} \frac{(x + h)^2 - x^2}{h} \\ &= \underset{h\rightarrow 0}{lim} \frac{x^2 + 2xh - h^2 - x^2}{h} \\ &= \underset{h\rightarrow 0}{lim} \frac{h(2x-h)}{h} \\ &= \underset{h\rightarrow 0}{lim} (2x-h) \quad h\rightarrow 0 \quad 2x \end{align} $$
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  • Beispiel 3: $f(x)=3x^4$ $$ \begin{align} f'(x) &= \underset{h\rightarrow 0}{lim} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \\ &= \underset{h\rightarrow 0}{lim} \frac{3(x + h)^4 - 3x^4}{h} \\ &= 3 \cdot \underset{h\rightarrow 0}{lim} \frac{x^4 + 4x^3h + 6x^2h^2 + 4xh^3 + h^4 - x^4}{h} \\ &= 3 \cdot \underset{h\rightarrow 0}{lim} \frac{ h \cdot (4x^3 + 6x^2h + 4xh^2 + h^3)}{h} \\ &= 3 \cdot \underset{h\rightarrow 0}{lim} (4x^3 + 6x^2h + 4xh^2 + h^3) \\ &= \quad h\rightarrow 0 \quad 12x^3 \end{align} $$

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