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Abstand Punkt-Gerade

 

Merke
  • Hier gibt es wie beim Abstand zwischen Punkt und Ebene eine Formel, die durch allgemeine Rechnung hergeleitet wird. Du solltest sie aber nur als Probe für dein Ergebnis verwenden, und den Lösungsweg immer vorrechnen.
  • Dabei stellst Du zuerst die Normalenform einer Hilfsebene $H$ auf, wobei Du als Normalenvektor den Richtungsvektor $\vec v$ der Geraden $g$ verwendest, und als Stützvektor den vorgegebenen Punkt $P$.
  • Danach wird $g$ mit $H$ geschnitten. Der gesuchte Abstand ist dann der Abstand zwischen $P$ und dem Schnittpunkt $S$.

 

 

Beispiel

Gegeben sind $P(1|2|3)$ und $g:\vec{x}=\left(\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{matrix} \right) + t \left(\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)$ .

Die Hilfsebene hat dann die Gleichung: $$ \left(\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) \bullet \left[\vec{x} - \left(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{matrix} \right) \right] = 0 \textrm{, bzw. } -x_1 + x_2 + x_3 - 1 = 0 $$

Der Schnittpunkt von dieser Ebene mit $g$ wird ausgerechnet durch Einsetzen von $x_1$, $x_2$ und $x_3$ aus der Geradengleichung in die Koordinatenform von $E$. Das ergibt dann nach $t$ aufgelöst $t = 0$ und wieder in die Geradengleichung eingesetzt den Schnittpunkt $S(1|4|-2)$. Der Abstand $d(P ; g)$ beträgt jetzt also: $$ d(P;g)=d(P;S)=\left|\left(\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{matrix} \right) - \left(\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{matrix} \right) \right| = \left|\left(\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{matrix} \right) \right| =\sqrt{42} $$

Mit der Abstandsformel kann dieses Ergebnis nochmal bestätigt werden: Für $ \frac{\vec{v} \cdot (\vec{p} - \vec{u}) }{\vec{v}^2 } $ rechnet man dabei den Wert $0$ aus, und weiter: $$ d(P;g)=\left|\left(\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{matrix} \right) + 0 \cdot \left(\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) -\left(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{matrix} \right) \right| =\left|\left(\begin{matrix} -1 \\ 4 \\ -5 \end{matrix} \right) \right| =\sqrt{42} $$

 

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