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  • Sind zwei Ebenen parallel zueinander, dann haben sie ebenfalls überall den gleichen Abstand.
  • Du ermittelst ihn, indem du einen beliebigen Punkt auf einer Ebene wählst und den Abstand von diesem Punkt zur anderen Ebene berechnest.
  • Grundsätzlich kann der Abstand zweier paralleler Ebenen auf zwei Arten berechnet werden:
    • mit der Hesse-Normalform 
    • mit einer Hilfsgeraden
  • Die Berechnung mit der Hesse-Normalform ist um einiges einfacher. 

 

Wie berechnet man den Abstand zweier Ebenen mit der Hesse Normalform?

  • Sind zwei parallele Ebenen $E_1$ und $E_2$ gegeben, so
  1. Bestimme die Hesse-Normalform (HNF) einer der Ebenen (z.B. $E_1$):
    • Für eine Ebene $E:\,ax_1+bx_2+cx_3+d=0$ in Koordinatenform gilt: $$\text{HNF}\quad E:\,\frac{ax_1+bx_2+cx_3+d}{|\vec{n}|}=0\quad\text{wobei}\quad\vec{n}=\left(\begin{matrix}a\\b\\c\end{matrix}\right)$$
    • Für eine Ebene $E:\,\vec{x}=\vec{a}+p\cdot\vec{b}+q\cdot\vec{c}$ in Parameterform wird in Koordinatenform umgewandelt und dann wird wie zuvor verfahren.
    • Für eine Ebene $E:\,\vec{n}\circ[\vec{x}-\vec{a}]=0$ in Normalenform wird nur der Normalenvektor normiert, so dass folgt: $$\text{HNF}\quad E:\,\frac{1}{|\vec{n}|}\vec{n}\circ[\vec{x}-\vec{a}]$$
  2. Wähle einen beliebigen Punkt $P=(p_1,p_2,p_3)$ auf der anderen Ebene ($E_2$)
  3. Setzte diesen Punkt in die Hesse-Normalform der Ebene ($E_1$) ein. Dann entspricht der Betrag des Ergebnisses dem Abstand $d$. $$d(E_1,E_2)=\left|\frac{ap_1+bp_2+cp_3+d}{|\vec{n}|}\right|$$
  4. ) Sind zwei parallele Ebenen $E_1$ und $E_2$ gegeben und eine der Geraden ist in Normalenform oder wird in Normalenform umgewandelt (die Form der zweiten Ebene spielt keine Rolle), so berechnet man den Abstand $d$ mit einer Hilfsgeraden wie folgt:
    1. Bestimmen der Hilfsgeraden $h$ mittels eines Stützpunktes $P$ auf der Ebene in beliebiger Form und dem Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene in Normalenform. $$h:\,\vec{x}=\vec{P}+t\cdot\vec{n}$$
    2. Bestimmen des Schnittpunktes $S$ der Hilfsgerade $h$ mit der Ebene in Normalenform. Dazu setzt man die $x$-Koordinaten von $h$ in die Ebenengleichung ein und löst dann nach $t$ auf. Nutzt man das gefundene $t$ wiederum in der Geradengleichung, so erhält man den Schnittpunkt
    3. Abstandsberechnung der zwei Punkte $P$ und $S$. $$d(E_1,E_2)=d(P,S)=\left|\overline{PS}\right|$$

 

Abstand Ebene Ebene mit Hilfsgerade

Abstand Ebene Ebene mit Hilfsgerade

 

Beispiel Übungsaufgabe: Abstandsberechnung mit Hesse-Normalform

Gegeben sind die parallelen Ebenen $E_1:\,2x_1−x_2−2x_3=6$ und $E_2:\,−x_1+0,5x_2+x_3=6$ in Koordinatenform.
Bestimme den Abstand $d$ der beiden Ebenen.

Lösung: Die Ebenen $E_1$ und $E_2$ haben einen Abstand von 6.

  1. Bestimmen der Hesse-Normalform:
    Bestimmen des normierten Normalenvektors $\vec{n}_0=\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$ der Ebene $E_1$: $$\begin{align} \text{Mit}\quad\vec{n}&=\left(\begin{matrix}2\\-1\\-2\end{matrix}\right)\quad\text{und}\quad|\vec{n}|=\sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2}=\sqrt{9}=3^\quad\text{folgt:}\\ \vec{n}_0&=\left(\begin{matrix}2\\-1\\-2\end{matrix}\right)\cdot\frac{1}{3}\quad\Rightarrow\quad\text{HNF}\,E_1:\,\frac{2x_1−x_2−2x_3-6}{3}=0 \end{align}$$
  2. Wählen eines beliebigen Punktes auf $E_2$:
    Eine einfache Lösung der Koordinatenform folgt für z.B. $\vec{P}=\left(\begin{matrix}0\\0\\6\end{matrix}\right)$
  3. Einsetzten des Punktes in die Hesse-Normalenform: $$d(E_1,E_2)=\left|\frac{2\cdot0-0-2\cdot6-6}{3}\right|=|-6|=6$$

 

Beispiel Übungsaufgabe: Abstandsberechnung mit Hilfsgerade

Gegeben sind die zwei parallelen Ebenen $E_1:\,\left(\begin{matrix}-2\\3\\6\end{matrix}\right)\circ\left[\vec{x}-\left(\begin{matrix}0\\1\\2\end{matrix}\right)\right]=0\quad\text{und}\quad E_2:\,\left(\begin{matrix}1\\4\\2\end{matrix}\right)+r\cdot\left(\begin{matrix}3\\2\\0\end{matrix}\right)+s\cdot\left(\begin{matrix}0\\-2\\1\end{matrix}\right)$ in Normalen- und Parameterform.
Lösung: Die Ebenen $E_1$ und $E_2$ haben einen Abstand von 1.

  1. ) Um die Hilfsgerade aufzustellen benötigen wir einen Stützpunkt und einen Richtungsvektor. Wir benutzen den Aufpunkt $\vec{A}=\left(\begin{matrix}1\\4\\2\end{matrix}\right)$ der $E_2$ als Stützpunkt und den Normalenvektor $\vec{n}=\left(\begin{matrix}1\\4\\2\end{matrix}\right)$ von $E_1$ als Richtungsvektor und erhalten eine Gerade $h$ senkrecht zu beiden Ebenen durch den Aufpunkt von $E_2$: $$h:\,\vec{x}=\left(\begin{matrix}1\\4\\2\end{matrix}\right)+r\cdot\left(\begin{matrix}-2\\3\\6\end{matrix}\right)$$
  2. ) Nun bestimmen wir den Schnittpunkt $S$ der Geraden $h$ mit $E_1$. Dazu setzen wir die Geradengleichung in die Normalenform von $E_1$ ein und lösen nach $r$ auf: $$\begin{align} \left(\begin{matrix}-2\\3\\6\end{matrix}\right)\circ\left[\left(\begin{matrix}1\\4\\2\end{matrix}\right)+r\cdot\left(\begin{matrix}-2\\3\\6\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}0\\1\\2\end{matrix}\right)\right]&=0\\ \left(\begin{matrix}-2\\3\\6\end{matrix}\right)\circ\left(\begin{matrix}1-2r\\3+3r\\6r\end{matrix}\right)&=0\\ (−2)\cdot(1−2r)+3\cdot(3+3r)+6\cdot6r&=0\\ 49r+7&=0\quad\Rightarrow\quad r=-\frac{1}{7} \end{align}$$ Benutzen wir dieses $r$ in der Geradengleichung, erhalten wir den Schnittpunkt $S$ mit der Ebene $E_1$ zu: $$\vec{S}=\left(\begin{matrix}1\\4\\2\end{matrix}\right)+\left(-\frac{1}{7}\right)\cdot\left(\begin{matrix}-2\\3\\6\end{matrix}\right)=\frac{1}{7}\cdot\left(\begin{matrix}9\\25\\8\end{matrix}\right)$$
  3. ) Der Abstand der Punkte $A$ und $S$ entspricht dem Abstand der beiden Ebenen: $$\begin{align} \overline{AS}=\vec{S}-\vec{A}=\frac{1}{7}\cdot\left(\begin{matrix}9\\25\\8\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}1\\4\\2\end{matrix}\right)=\frac{1}{7}\cdot\left(\begin{matrix}2\\-3\\-6\end{matrix}\right)\\ d=|\overline{AS}|=\sqrt{(\overline{AS})}=\frac{1}{7}\cdot\sqrt{2^2+(-3)^2+(-6)^2}=\frac{1}{7}\cdot\sqrt{49}=1 \end{align}$$

 

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