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Ableiten Online Erklärung

Ableitung von konstanten Funktionen

Ableitung der Exponentialfunktion

Ableitung der Logarithmusfunktion

Ableitung von Potenzfunktionen

Ableitung einer mit einer Zahl c multiplizierten Funktion

Ableitung der Summe/Differenz von zwei (oder mehr) Funktionen

Ableitung der Verkettung von zwei Funktionen (Kettenregel)

Ableitung des Produkts aus zwei Funktionen (Produktregel)

Ableitung des Quotienten aus zwei Funktionen (Quotientenregel)

 

 

Ableitung von konstanten Funktionen

Merke
  • Bei einer konstanten Funktion ist die Steigung immer null und daher ist auch ihre Ableitung null. $$ f(x) = c \\ f'(x)=0 $$

Beispiel

$ f(x) = 6 \Rightarrow f'(x) = 0 $

 

Ableitung der Exponentialfunktion

Merke
  • Die Ableitung der Exponentialfunktion $e^x$ ist die Funktion selbst: $$ f(x) = e^x \Rightarrow f'(x) = e^x $$
  • Die Exponentialfunktion ist die einzige Funktion die diese Eigenschaft besitzt.
  • Die Ableitung der e-Funktion ist einfach, aber man benötigt fast immer die Kettenregel und Produktregel.

Beispiel

$f(x)=e^x + x + 4 \Rightarrow f'(x) = e^x +1 $

 

Ableitung der Logarithmusfunktion

Merke
  • Für die Ableitung der Logarithmusfunktion gilt: $$ f(x) = ln(x) \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x} $$

Beispiel

$ f(x) = ln(5x - 2) \Rightarrow f'(x) = 5 \cdot \frac{1}{5x-2} $

Es gilt hier die Kettenregel: $ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) $

 

Ableitung von Potenzfunktionen

Merke
  • Für die Ableitung der Potenzfunktion gilt: $$ f(x)=\left(x^n\right)\Rightarrow f'(x)=nx^{n-1} $$

Beispiel

$$ \begin{align} f(x) &= \left(x^7\right)\Rightarrow f'(x)= 7x^{7-1}=7x^6 \\ f(x) &=\left(\sqrt{x} \right) = x^{\frac{1}{2} } \Rightarrow f'(x)= \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2} } = \frac{1}{2x^{\frac{1}{2} }} = \frac{1}{2\sqrt{x} } \\ f(x) &= \left(\frac{1}{x} \right) = x^{-1} \Rightarrow f'(x)=(-1) \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2} \\ f(x) &= \left(\frac{1}{x^5} \right) = x^{-5} \Rightarrow f'(x)= (-5) \cdot x^{-5-1} = -5x{-6} = -\frac{5}{x^6} \end{align} $$

 

Ableitung einer mit einer Zahl c multiplizierten Funktion

Merke
  • Für die Ableitung einer mit einer Zahl $c$ multiplizierten Funktion gilt: $$ f(x)=\left[c \cdot g(x) \right] \Rightarrow f'(x)= c \cdot g'(x) $$

Beispiel

$$ \begin{align} f(x) &= \left[-3x^2 \right] \Rightarrow f'(x)= -3 \cdot \left[-3x^2 \right]' = (-3) \cdot 2x^1 = -6x \\ f(x) &= \left[-\frac{4}{x^3} \right] \Rightarrow f'(x)= -4 \cdot \left[x^{-3} \right]' = (-4) \cdot (-3) \cdot x^{-4} = 12x^{-4} = \frac{12}{x^4} \end{align} $$

 

 

 

Ableitung der Summe/Differenz von zwei (oder mehr) Funktionen

Merke
  • Für die Ableitung von zwei oder mehreren Funktionen gilt allgemein: $$ \left[f(x)\pm g(x)\right]'= f'(x) \pm g'(x) $$

Beispiel

$$ \left[6 - \frac{1}{2}x^2 \right]' = \left[6\right]' - \left[\frac{1}{2} x ^2 \right] = 0 -\frac{1}{3} \cdot 2x = -x \\ \left[tx^4-2x^2+\frac{1}{2}-2 \right]' = \left[tx^4\right] - \left[2x^2\right]' + \left[\frac{1}{2}x \right]' - \left[2\right] = 4tx^3-4x+\frac{1}{2} $$

 

Ableitung der Verkettung von zwei Funktionen (Kettenregel)

Merke
  • Für die Ableitung der Verkettung von zwei Funktionen gilt (Kettenregel): $$ [f(g(x))]' = g'(x)f'(g(x)) $$

Beispiel

$$ \begin{align} f(x) &= (3x^2+2x)^2 \\ f'(x) &= u'(v(x)) \cdot v'(x) \\ &= 2v(x) \cdot (6x+2) \\ &= 2(3x2+2x) \cdot (6x+2) \\ &= 36x^3+24x2+12x2+8x \\ &= 36x^3+36x2+8x \\ \end{align} $$

 

Ableitung des Produkts aus zwei Funktionen (Produktregel)

Merke
  • Für die Ableitung des Produktes von zwei Funktionen gilt allgemein (Produktregel): $$ [f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + g'(x)f(x) $$

Beispiel

$$ \begin{align} \left[(-2x^2+3)e^{-2x+1}\right] &= \left[-2x^2+3\right]'e^{-2x+1} + \left[e^{-2x+1}\right]'(-2x^2+3) \\ &=-4xe^{-2x+1}+ (-2)e^{-2x+1}(-2x^2+3) \\ &=-4xe^{-2x+1}+(4x^2-6)e^{-2x+1} \\ &=(4x^2-4x-6)e^{-2x+1} \end{align} $$

 

$$ \begin{align} \left[-7x \cdot ln(8x)\right]' &= \left[-7x\right]'ln(8x) + \left[ln(8x)\right]'(-7x) \\ &= -7ln(8x) + 8\cdot \frac{1}{8x}(-7x) \\ &= -7ln(8x)-7 \end{align} $$

 

Ableitung des Quotienten aus zwei Funktionen (Quotientenregel)

Merke
  • Für die Ableitung des Quotienten aus zwei Funktionen gilt allgemein (Quotientenregel):
  • $$ \left[\frac{f(x)}{g(x)} \right] = \frac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{g(x)^2} $$

Beispiel

$$ \begin{align} \left[-\frac{3}{x^2} \right] &= -\frac{\left[3\right]'x^2 - 3\left[x^2\right] }{(x^2)^2} \\ &= -\frac{0-6x}{x^4} \\ &= \frac{6}{x^3} \end{align} $$

 

$$ \begin{align} \left[\frac{e^{\frac{2}{3}x} }{x^2-4} \right] &= \frac{\left[e^{\frac{2}{3}x}\right]'(x^2-4)- \left[x^2-4\right]'e^{\frac{2}{3}x} }{(x^2-4)^2} \\ &= \frac{\frac{2}{3}e^{\frac{2}{3}x}(x^2-4)-2xe^{\frac{2}{3}x} }{(x^2-4)^2} \\ &= \frac{(\frac{2}{3}x^2-2x-\frac{8}{3} )e^{\frac{2}{3}x}}{(x^2-4)^2} \end{align} $$

 

 

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