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Der Wirkungsgrad

Jede Maschine bekommt eine gewisse Menge Energie, meistens in Form von chemischer/innerer Energie (Öl, Kohle, etc.), diese Energie wandelt sie dann um in andere Energie. Zum Beispiel ein Motor wandelt diese in kinetische Energie, eine Heizung in Wärmeenergie, usw. um. Zur Bestimmung der Effizienz einer Gerätschaft, also wie gut es seine Input-Energie nutzt, wurde ein physikalisches Maß, genannt Wirkungsgrad oder Leistungsziffer, eingeführt: $$\eta=\frac{\text{Nutzleistung}}{\text{aufgewendete Leistung}}=\frac{P_N}{P_g}$$ Die aufgewendete Leistung oder Gesamtleistung $P_g$ ist dabei die Summe aus der Nutzleistung $P_N$ und der Verlustleistung $P_V$. $P_V$ führt meistens zu einer Erwärmung der Maschine und der Umgebung (außer bei einer Heizung, da ist gerade die Wärmeleistung die Nutzleistung), zusammengefasst ergibt das diese Gleichung: $$\eta=\frac{P_N}{P_g}=\frac{Pg-P_V}{P_g}=1-\frac{P_V}{P_g}\leq1$$

 

Beispiel

Aus einem Brunnen mit einer Tiefe von 20 m wird Wasser gepumpt. Dafür ist eine Pumpe mit Motor installiert, dessen Leistung 3680 W beträgt. Gesucht ist der Wirkungsgrad des Motors, wenn das Volumen des aus dem Brunnen gepumpten Wassers nach 7 Stunden $3,8\cdot10^2\text{ m}^3$ beträgt.

Lösung:
Die Leistung $P$ des Motors ist mit der Arbeit $W$, die er in der Zeit $t$ verrichtet, durch folgenden Beziehung verknüpft: $$P=\frac{W}{\eta\cdot t}$$ Die Arbeit, die man aufwenden muss, um das Wasser mit der Masse $m$ auf die Höhe $h$ zu heben, ist gleich $$W=m\cdot g\cdot h$$ Dabei nimmt die Masse $m$ des Wassers das Volumen $$V=\frac{m}{\rho}$$ ein, wobei $\rho$ die Dichte des Wasser ist. Wenn wir nun die Gleichungen ineinander einsetzen, erhalten wir $$P=\frac{V\cdot\rho\cdot g\cdot h}{t\cdot\eta}$$ und folglich ergibt sich der Wirkungsgrad aus $$\eta=\frac{V\cdot\rho\cdot g \cdot h}{P\cdot t}=\frac{3,8\cdot10^2\text{ m}^3\cdot10^3\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\cdot 9,81\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot20\text{ m}}{3680\text{ W}\cdot 7\cdot3600\text{ s}}=0,8=80\text{ %}$$

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