Wahrscheinlichkeiten

 

Wahrscheinlichkeitsrechnung Übungen und Aufgaben

 

Grundlegende Definitionen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung

 Merke 

  • Die Ergebnismenge Ω(Ergebnisraum) enthält alle Ergebnisse eines Zufallsexperimentes.  Die Anzahl der Ergebnisse in bezeichnet Ω man als dessen Mächtigkeit. Es gilt: |Ω|=n
  • ­Jede Teilmenge der Ergebnismenge Ω bezeichnet man als ein Ereignis E.
  • Wenn man dasselbe Zufallsexperiment mehrfach hintereinander ausführt, so bezeichnet man es als ein mehrstufiges Zufallsexperiment (beispielsweise mehrfaches Würfeln). Die Ergebnismenge Ω besteht dann aus der Menge aller möglichen Ereignisse.
  • Ein Gegenereignis ist die Menge aller Ergebnisse, die nicht zum Ereignis gehören.

 Beispiel 

Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiele

 

 

Absolute Häufigkeit und relative Häufigkeit

 Merke 

  • Die absolute Häufigkeit Hn(E) gibt die Anzahl des Eintretens eines Ereignisses E bei n Versuchen wieder.
  • Die relative Häufigkeit hn(E) gibt das Verhältnis der absoluten Häufigkeiten zur Anzahl n der Versuchsdurchführungen wieder.

 Beispiel 

Absolute Häufigkeit und relative Häufigkeit

 

 

Laplace-Wahrscheinlichkeit

 Merke 

  • Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment bei dem jedes Ereignis die gleiche Wahrscheinlichkeit p besitzt, d.h. alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich.

 Beispiel 

  • Ein nicht gezinkter Würfel, also ein Würfel bei dem jede Augenzahl gleich wahrscheinlich ist, bezeichnet man als Laplace-Würfel. Bei diesem Würfel ist die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses immer 1/6. Das bedeutet, wenn der Laplace-Würfel 600 mal geworfen wird, dann erwartet man, dass jede Zahl 100-mal erscheint.

 

 

Wahrscheinlichkeitsrechnung Formeln, Regeln und Sätze

 Merke 

  • Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses liegt zwischen 0 und 1: 0 ≤ P(E) ≤1. Die Anzahl der günstigen Ereignisse ist immer kleiner oder gleich der Anzahl der möglichen Ereignisse.
  • Summenregel für zwei Ergebnisse eines Zufallsexperimentes x1 und x2: P({x1 ,x2})=P({x1})+P({x2})
  • Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1: P(Ω)=1
  • Das unmögliche Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 0: P(∅)=0
  • Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses ist: 1-P(E)
  • Für dieVereinigung zweier Ereignisse gilt: P(E1∪E2 ) =P (E1) + P( E2 ) - P( E1 ∩E2 ) ≤ P (E1) + P( E2 )
  • Additionssatz: Sind die Mengen unvereinbar, also P( E1 ∩E2 ) =∅, dann gilt: P(E1∪E2 ) = P (E1) + P( E2 )

 Beispiel 

Wahrscheinlichkeitsrechnung Formeln, Regeln und Sätze

 

 

1. und 2. Pfadregel

 Merke 

  • 1. Pfadregel: In einem mehrstufigen Zufallsexperiment erhält man die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses, indem man die Wahrscheinlichkeiten entlang auf dem betreffenden Pfad zum Ergebnis multipliziert.
  • 2. Pfadregel:  In einem mehrstufigen Zufallsexperiment erhält man die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses, das sich aus mehreren Ergebnissen zusammensetzt, indem man die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade addiert.

 Beispiel 

1. und 2. Pfadregel Formel mit Beispiel Erklärung

 

 

Bedingte Wahrscheinlichkeit Beispiel mit Vierfeldertafel

 Merke 

  • Zwei Ereignisse werden als unabhängig bezeichnet, wenn das Eintreten des einen Ereignisses keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit des anderen Ereignisses hat. Ansonsten sind die Ereignisse voneinander abhängig.
  • Unter der bedingten Wahrscheinlichkeit PB (A) versteht man die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Voraussetzung, dass B mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit schon eingetreten ist.
  • Mit einer Vierfeldertafel kann man bedingte Wahrscheinlichkeiten sehr übersichtlich darstellen.

 Beispiel 

Bedingte Wahrscheinlichkeit Beispiel und Vierfeldertafel

 

 

Bernoulli-Wahrscheinlichkeit

 Merke 

  • Ein Zufallsexperiment mit nur zwei Ergebnissen (Erfolg / kein Erfolg) wird als Bernoulli-Experiment bezeichnet – Beispiel: Gewinnspiel, Münze werfen.

 Beispiel 

Bernoulli Wahrscheinlichkeit

 

 

Kombinatorik, Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Übungen und Aufgaben