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Definition: Unabhängigkeit von Ereignissen

Beispiel: Unabhängigkeit von Ereignissen

 

 

Definition: Unabhängigkeit von Ereignissen

  • Ist ein Zufallsexperiment mit Ergebnisraum $\Omega$ und zwei Ereignissen A und B gegeben, so ist B unabhängig von A, wenn gilt: $P_A(B)=P(A)$
    Wenn also die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B unabhängig davon ist ob A schon eingetreten ist oder nicht.
  • Die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ ist nur für $P(A)\neq 0$ definiert. Setzten wir den Term für die bedingte Wahrscheinlichkeit in obige Definition und lösen nach $P(A\cap B)$ auf: $$\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=P(B) // P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$ Diese Lösung kann den Fall $P(A)=0$ händeln und wird "Produktbedingung" genannt.
  • Gilt die Bedingung $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ nicht, so heissen die Ergebnisse voneinander abhängig
  • Weiterhin gilt: Das unmögliche Ereignis ${}$ und jedes beliebige Ereignis B, sowie das sichere Ereignis $\Omega$ und ein beliebiges Ereignis B sind voneinander unabhängig.
  • Sind $A$ und $B$ unabhängige Ereignisse eines Zufallsexperiments, dann sind auch die Gegenereignisse $\bar{A}$ und $\bar{B}$ sowie die Ereignisse $A$ und $\bar{B}$ bzw. $\bar{A}$ und $B$ jeweils paarweise unabhängig

 

 

Beispiel: Unabhängigkeit von Ereignissen

  • Beim zweimaligen Wurfeln eines Würfels ist die zweite gewürfelte Augenzahl von der ersten Augenzahl unabhängig – der Würfel hat kein Gedächtnis.
  • Ebenso wird es sein beim mehrmaligen Ziehen von Kugeln aus einer Urne mit Zurücklegen der gezogenen Kugel, da hierbei nach jeder Ziehung der ursprüngliche Ausgangszustand wieder hergestellt wird. Ein anderer Fall liegt vor, wenn die gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird.
  • Nehmen wir an, die Urne enthält 3 grüne und 2 rote Kugeln. $R_i$ sei das Ereignis "die i. gezogene Kugel ist rot" und $G_i$ das Ereignis "die i. gezogene Kugel ist grün".
  • Ziehen mit Zurücklegen: $P(R_1)=P(R_2)=\frac{2}{5}$ sowie $P(G_1)=P(G_2)=\frac{3}{5}$
  • Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten, je nach vorhergegangenem Ereignis.

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