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Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Definition

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Beispiele

 

 

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Definition

  • Wir nehmen an, dass wir $k$ disjunkte Ereignisse $B_1, . . . , B_k$ haben mit $$ B_1 \cup ... \cup B_k = \Omega $$ alle möglichen Fälle sind abgedeckt.
  • Dann gilt: $$ P(A) = \sum\limits_{i=1}^{k}{ P(A \cap B_i)} = \sum\limits_{i=1}^{k}{P(A|B_i)P(B_i)} $$

 

 

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Beispiel

Bei einer kranken Person schlägt ein Grippeschnelltest mit Wahrscheinlichkeit $0,9$ an. Bei einer gesunden Person kann der Test allerdings ebenfalls anschlagen, und zwar mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,2$. Wenn nun $1%$ aller Personen in einer Population tatsächlich krank sind, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass der Test bei einer zufällig gewählten Person anschlägt?

Lösung 

Wir legen zunächst passende Ereignisse fest:

  • $A$ = Person wird positiv getestet
  • $B_1$ = Person hat Grippe
  • $B_2$ = Person hat keine Grippe

Also sind die Ereignisse $B_1$ und $B_2$ disjunkt, d.h. $B_1 \cap B_2 = \emptyset$, und es gilt $ \Omega = B_1 \cup B_2$. Laut Aufgabenstellung gilt $$ P(A|B_1) = 0.9 \\ P(A|B_2) = 0,2 $$

Da zusätzlich noch bekannt ist, dass $1%$ aller Personen krank sind, gilt außerdem: $$ P(B_1) = 0,01 \\ P(B_2) = 1 - 0,01 = 0,99 $$

Mit der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit folgt: $$ P(A) = P(A|B_1) \cdot P(B_1) + P(A|B_2) \cdot P(B_2)= 0,9 \cdot 0,01 + 0,2 \cdot 0,99 = 0,207 $$

Eine Person wird also mit Wahrscheinlichkeit 20,7% positiv getestet.

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