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Definition Produktregel

Produktregel Beispiele

 

 

Definition Produktregel

  • Die Produktregel ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung. Sie führt die Berechnung der Ableitung eines Produktes von Funktionen auf die Berechnung der Ableitungen der einzelnen Funktionen zurück.
  • Es gilt folgende Formel für die Ableitung von zwei Funktionen, die mit einer Multiplikation verknüpft sind: $$ f(x) = g(x) \cdot h(x) \textrm{ ist } f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) $$
  • 1. Faktor $g(x)$ ableiten mal 2. Faktor $h(x)$ unabgeleitet
    plus
    1. Faktor $g(x)$ unabgeleitet mal 2. Faktor $h(x)$ abgeleitet

 

 

Produktregel Beispiele

  • Beispiel 1: Berechne die Ableitung von $ f(x) = (x^2 + 2) \cdot sin x $ $$ \begin{align} f(x) &= g(x) \cdot h(x) \textrm{ ist } f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \\ f(x) &= (x^2 + 2) \textrm{ , } f'(x) = 2x \\ g(x) &= sin(x) \textrm{ , } g'(x) = cos(x) \\ f'(x) &= 2x \cdot sin x + (x^2 + 2) \cdot cos x \end{align} $$
  • Beispiel 2: Berechne die Ableitung von $ f(x) = (x^2 + 5) \cdot e^x$ $$ \begin{align} f(x) &= g(x) \cdot h(x) \textrm{ ist } f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \\ g(x) &= (x^2 + 5) \textrm{ , } f'(x) = 2x \\ h(x) &= e^x \textrm{ , } g'(x) = e^x \\ f'(x) &= 2x \cdot e^x + (x^2 + 2) \cdot e^x = (x^2 + 2x + 2) \cdot e^x \end{align} $$
  • Beispiel 3: Berechne die Ableitung von $ f(x) = (2x + 2) \cdot \sqrt{x} x$ $$ \begin{align} f(x) &= g(x) \cdot h(x) \textrm{ ist } f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \\ g(x) &= (2x + 2) \textrm{ , } f'(x) = 2 \\ h(x) &= \sqrt{x} \textrm{ , } g'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{x}} \\ f'(x) &= 2x \cdot \sqrt{x} + (x^2 + 2) (-\frac{1}{2\sqrt{x}}) = \frac{3}{2}x \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} \end{align} $$

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