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Merke
  • Bilde das Kreuzprodukt aus den beiden Richtungsvektoren, die in der Parameterform stehen. Das Ergebnis des Kreuzprodukts ist ein Normalenvektor der Ebene, die drei Komponenten dieses Vektors sind also die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ der gesuchten Koordinatengleichung $ax1 +bx2 +cx3 +d=0$.
  • Überprüfe immer, ob du den Normalenvektor korrekt berechnet hast, indem du des- sen Skalarprodukt mit beiden Richtungsvektoren berechnest. Beide Skalarprodukte müssen den Wert null ergeben, da der Normalenvektor senkrecht zur Ebene, also auch zu beiden Richtungs- vektoren stehen muss.
  • $d$ ergibt sich durch Einsetzen der drei Koordinaten des Stützvektors in die Koordinatengleichung.

 

 

Beispiel

$$ \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 6 \\3 \end{pmatrix} + \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\8 \end{pmatrix} $$

Das Vektorprodukt der Richtungsvektoren ergibt den Normalenvektor

$$ \vec n = \begin{pmatrix} -1 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \cdot 8 - 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 6 - (-1) \cdot8 \\ (-1) \cdot 1- 6\cdot 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 45 \\ 23 \\ -31 \end{pmatrix}$$

Probe (das Skalarprodukt mit beiden Richtungsvektoren muss null ergeben):

$$ \begin{pmatrix} 45 \\ 23 \\ -31 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} = 45 \cdot (-1) + 23 \cdot 6 + (-31) \cdot 3 = 0 $$ $$ \begin{pmatrix} 45 \\ 23 \\ -31 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix} = 45 \cdot (5) + 23 \cdot 1 + (-31) \cdot 8 = 0 $$

Aus dem Normalenvektor ergibt sich jetzt die provisorische Koordinatenform $45x_1 + 23x_2 - 31x_3 + d = 0$.

Durch Einsetzen des Stützvektors aus der Parameterform in diese Gleichung bekommen wir dann auch noch $d$: $45 \cdot 2 + 23 \cdot 3 - 31 \cdot 0 + d = 0 \Rightarrow d = -159$

Die gesuchte Koordinatengleichung lautet also: $$ 445x_1 + 23x_2 - 31x_3 - 159 = 0 $$

 

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