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Logik beschäftigt sich mit den Methoden des Denkens, d.h. mit der Aufstellung und Überprüfung logischer Gesetze und Regeln für das Bilden von Begriffen, Aussagen und Schlüssen.

Logik bestätigt oder widerlegt also nicht die Wahrheit, sondern zeigt nur auf, welche Konsequenzen es in unserem Denken hat, wenn wir bestimmte Dinge als gegeben annehmen. Man könnte Logik auch als die Lehre vom Schlußfolgern bezeichnen.

Aussagenlogik

Logische Verknüpfungen

Logische Operationen

 

 

Aussagenlogik

Merke
  • Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, das vom Inhalt her wahr oder falsch ist, d.h. man kann jeder Aussage einen Wahrheitswert zuordnen.
  • Keine Aussagen sind: "Guten Morgen!", "Wann gehen wir essen?"
  • Die Erde ist ein Planet. (w), 7 ist eine gerade Zahl. (f), 5 ist eine Primzahl. (w)
  • Eine nicht elementare Aussage ist eine Aussage, die aus zwei oder mehreren elementaren Aussagen zusammengesetzt ist oder die durch Verneinung einer Aussage entsteht.
  • Wir sprechen von einer Aussage im mathematischen Sinne, wenn diese einen eindeutigen Wahrheitswert annimmt. Dieser Wahrheitswert kann beschrieben werden durch {wahr, falsch}, {true, false} oder {1, 0}.

Beispiel

  1. Alle Professoren sind Menschen.
  2. Alle Menschen sind Professoren.
  3. Wenn Weihnachten und Ostern auf einen Tag fällt, dann bekommt jeder Teilnehmer des Vorkurses ein Mensaessen vom Tutor geschenkt.
  4. Es gibt Außerirdische.

Wir erkennen, dass Aussage 1 immer wahr ist, während Aussage 2 nicht wahr ist, so lange es Menschen gibt, die keine Professoren sind.

Die dritte Aussage besteht aus zwei Teilaussagen: "Weihnachten und Ostern fallen auf einen Tag" und "Jeder Teilnehmer des Vorkurses bekommt ein Mensaessen vom Tutor geschenkt".

Vorausgesetzt Weihnachten und Ostern fallen auf einen Tag, dann muss der Tutor die Mensaessen ausgeben, damit die Aussage wahr ist. Da das jedoch nicht passiert, kann der Tutor machen was er will und die Gesamtaussage ist wahr.

Der Wahrheitswert der vierten Aussage ist (wenigstens im Moment) nicht zu beantworten, da niemand weiß, ob Außerirdische existieren.

 

 

Logische Verknüpfungen

Merke
  • Logische Aussagen können durch die in der folgenden Tabelle angegebenen Operationen verknüpft werden.
    Logische Verknüpfungen
  • Bei der Implikation ist zu beachten, dass B nur dann wahr sein muss, wenn A wahr ist. Aus falschen Voraussetzungen können sowohl richtige, als auch falsche Schlüsse gezogen werden. Das Zeichen für die Oder-Verknüpfung ist ein stilisiertes v, das für vel (lat. oder) steht.
  • Für die Oder-Verknüpfung wird auch das "+"-Symbol verwendet und für die Und-Verknüpfung das "·"-Symbol. Verwendet man dann die 0 für den Wert "falsch" und interpretiert jeden anderen Wert als "wahr", künnen die logischen Verknüpfungen durch Rechnen mit natürlichen Zahlen durchgeführt werden.
  • Vor allem in Computersprachen werden die aus dem Englischen stammenden Begriffe NOT (Negation), AND (Konjunktion), OR (Disjunktion), EXOR oder XOR (exclusive or, Antivalenz) und deren Negationen NAND (negierte Konjunktion), NOR (negierte Disjunktion) und NXOR (Äquivalenz) verwendet.
  • In der folgenden Tabelle sind die Wahrheitswerte der vorgestellten Verknüpfungen angegeben. Dabei steht w für wahr und f für falsch.
    Logische Verknüpfungen

Beispiel

  • $p$: Die Rose ist rot.
    $\neg p$: Die Rose ist nicht rot.
  • $p$: 18 ist durch 2 teilbar. $q$: 18 ist durch 3 teilbar.
    $p \wedge q$: 18 ist durch 2 und durch 3 teilbar.
  • $p$: Das Kind ißt Bonbons. $q$: Das Kind ißt Schokolade.
    $p \vee q$: Das Kind ißt Schokolade oder Bonbons (oder beides).
  • $p$: x ist durch 10 teilbar. $q$: x ist durch 5 teilbar.
    $p \rightarrow q$: Wenn x durch 10 teilbar ist, so ist x auch durch 5 teilbar.
  • $p$: Eine Zahl ist durch 6 teilbar. $q$: Eine Zahl ist durch 2 teilbar.
    $p \leftrightarrow q$: Eine Zahl ist dann und nur dann durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 teilbar ist.
  • $p$: Peter ist in Köln geboren. $q$: Peter ist in Bonn geboren.
    $p \nleftrightarrow q$: Peter ist entweder in Köln oder in Bonn geboren.

 

p: Paul ist reich., q: Paul ist glücklich.

  • Paul ist reich, aber nicht glücklich. $ p \wedge (\neg q)$
  • Paul ist nicht reich oder glücklich. $(\neg p) \vee q$
  • Weder ist Paul reich noch glücklich. $(\neg p) \wedge (\neg q)$
  • Wenn Paul reich ist, ist er glücklich. $p \rightarrow q$
  • Entweder ist Paul reich oder glücklich. $p \nleftrightarrow q$

 

Logische Operationen

Merke
  • Logische Aussagen können durch die in der folgenden Tabelle angegebenen Operationen verknüpft werden.
    Logische Verknüpfungen
  • Bei der Implikation ist zu beachten, dass B nur dann wahr sein muss, wenn A wahr ist. Aus falschen Voraussetzungen können sowohl richtige, als auch falsche Schlüsse gezogen werden. Das Zeichen für die Oder-Verknüpfung ist ein stilisiertes v, das für vel (lat. oder) steht.
  • Für die Oder-Verknüpfung wird auch das "+"-Symbol verwendet und für die Und-Verknüpfung das "·"-Symbol. Verwendet man dann die 0 für den Wert "falsch" und interpretiert jeden anderen Wert als "wahr", künnen die logischen Verknüpfungen durch Rechnen mit natürlichen Zahlen durchgeführt werden.
  • Vor allem in Computersprachen werden die aus dem Englischen stammenden Begriffe NOT (Negation), AND (Konjunktion), OR (Disjunktion), EXOR oder XOR (exclusive or, Antivalenz) und deren Negationen NAND (negierte Konjunktion), NOR (negierte Disjunktion) und NXOR (Äquivalenz) verwendet.
  • In der folgenden Tabelle sind die Wahrheitswerte der vorgestellten Verknüpfungen angegeben. Dabei steht w für wahr und f für falsch.
    Logische Verknüpfungen

Beispiel

  • $p$: Die Rose ist rot.
    $\neg p$: Die Rose ist nicht rot.
  • $p$: 18 ist durch 2 teilbar. $q$: 18 ist durch 3 teilbar.
    $p \wedge q$: 18 ist durch 2 und durch 3 teilbar.
  • $p$: Das Kind ißt Bonbons. $q$: Das Kind ißt Schokolade.
    $p \vee q$: Das Kind ißt Schokolade oder Bonbons (oder beides).
  • $p$: x ist durch 10 teilbar. $q$: x ist durch 5 teilbar.
    $p \rightarrow q$: Wenn x durch 10 teilbar ist, so ist x auch durch 5 teilbar.
  • $p$: Eine Zahl ist durch 6 teilbar. $q$: Eine Zahl ist durch 2 teilbar.
    $p \leftrightarrow q$: Eine Zahl ist dann und nur dann durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 teilbar ist.
  • $p$: Peter ist in Köln geboren. $q$: Peter ist in Bonn geboren.
    $p \nleftrightarrow q$: Peter ist entweder in Köln oder in Bonn geboren.

 

p: Paul ist reich., q: Paul ist glücklich.

  • Paul ist reich, aber nicht glücklich. $ p \wedge (\neg q)$
  • Paul ist nicht reich oder glücklich. $(\neg p) \vee q$
  • Weder ist Paul reich noch glücklich. $(\neg p) \wedge (\neg q)$
  • Wenn Paul reich ist, ist er glücklich. $p \rightarrow q$
  • Entweder ist Paul reich oder glücklich. $p \nleftrightarrow q$

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