Lineare Gleichungssysteme lösen: Additionsverfahren, Substitutionsverfahren, Gleichsetzungsverfahren

01 Februar 2023
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Erklärung

Definition lineare Gleichungssysteme

  • Unter einem linearen Gleichungssystem versteht man 2 lineare Gleichungen mit zwei Variablen.
  • Eine Lösung des linearen Gleichungssystems sind alle Zahlenpaare, die beide Gleichungen erfüllen. Die Menge der Lösungen bezeichnet man als Lösungsmenge.
  • Das Ziel der verschiedenen Lösungsverfahren – Additions-, Einsetzungs- und Gleichsetzungsverfahren –  ist es aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten eine Gleichung mit einer Unbekannten herzustellen.
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Definition lineare Gleichungssysteme
Erklärung

Additionsverfahren Erklärung

  • Das Ziel des Additionsverfahrens ist es die Gleichungen so umzuformen,  dass bei der Addition der beiden Gleichungen eines der Variablen wegfällt.
  • Die beiden Gleichungen können auch voneinander subtrahiert werden.
  • Besonders sinnvoll ist das Additionsverfahren, wenn die Koeffizienten einer Variablen in den zwei Gleichungen zueinander entgegengesetzte Zahlen sind.
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Additionsverfahren Beispiel Aufgabe
Erklärung

Substitutionsverfahren oder Einsetzungsverfahren Erklärung

  • Beim Einsetzungsverfahren löst man eine der Gleichungen nach einer Variablen auf (x oder y) und setzt diese Variable dann in die andere Gleichung ein.
  • Besonders sinnvoll ist das Einsetzungsverfahren, wenn bereits eine der beiden Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst ist.
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Substitutionsverfahren oder Einsetzungsverfahren Erklärung
Erklärung

Gleichsetzungsverfahren Erklärung

  • Beim Gleichsetzungsverfahren löst man beide Gleichungen nach derselben Variablen und setzt diese dann gleich.
  • Das Gleichsetzungsverfahren ist ein Sonderfall des Einsetzungsverfahrens, und zwar wenn bereits beide Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst sind.
  • Es eignet sich besonders, wenn beide Gleichungen nach der gleichen Variable aufgelöst vorliegen.
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Gleichsetzungsverfahren Erklärung
Erklärung

Zeichnerische Lösung

  • Man kann ein lineares Gleichungssystem auch grafisch lösen, da beide Gleichungen eine Gerade bzw. eine lineare Funktion darstellen.
  • Bringe die beiden Gleichungen in die Geradenform: y=mx+c.
  • Wenn sich die Geraden in einem Punkt S (x|y) schneiden, dann ist das genau die eine Lösung des Gleichungssystems.
  • Schneiden sich die Geraden nicht, also sind sie parallel zueinander, dann gibt es keine Lösung.
  • Liegen beide Geraden übereinander, dann gibt es unendlich viele Lösungen, d. h. jedes beliebige Wertepaar x und y ist eine Lösung für das Gleichungssystem.
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zeichnerische Lösung lineares Gleichungssystem LGS
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