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Online Rechner: Kugel Formel Rechner

Gebe bitte den Kugel Radius an:

Kugel-Formel: Volumen, Fläche, Oberfläche, Umfang, Mantel
Radius: Oberfläche:  
   

Volumen:

 
   

 

Merke
  • Die Schnittmenge zwischen einer Geraden und einer Kugel bestimmst Du, indem Du die drei Koordinaten $$ \begin{align} u_1s - v_1t &= b_1 - a_1 \\ u_2s - v_2t &= b_2 - a_2 \\ u_3s - v_3t &= b_3 - a_3 \end{align} $$
  • aus der Geradenform $ \vec x = \vec u + t \vec v$ $$ (x_1 - m_1)^2 + (x_2 - m_2)^2 + (x_3 - m_3)^2 = r^2 \\ x^{2}_{1} + x^{2}_{2} + x^{2}_{3} + b_1x_1 + b_2x_2 + b_3x_3 + d = 0 $$ (quadratische Form oder Kugel-Normalform) der Kugel einsetzt. Dabei bekommst Du eine quadratische Gleichung für $t$, die Du mit der Lösungsformel löst.
  • Für t bekommst Du dann keine, eine oder zwei Lösungen, d.h., die Gerade passiert, tangiert oder durchstößt die Kugel.
  • Um den Berührpunkt oder die Durchstoßpunkte zu erhalten setzt Du dann die Lösungen für $t$ in die Geradengleichung ein.
  •  

     

    Beispiel

    Wir verwenden eine Kugel und drei Geraden:

    $$ K : (x_1 - 2)^2 + (x_2 +1)^2 + (x_3 - 1)^2 = 9 \\ g_1 : \vec x = \left(\begin{matrix} 5 \\ -1 \\ 1 \end{matrix} \right) + t \left(\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right), \quad g_2 : \vec x = \left(\begin{matrix} 5 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right) + t \left(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{matrix} \right), \quad g_3 : \vec x = \left(\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} \right) + t \left(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{matrix} \right) $$

    $ K \cap g_1 $: Einsetzen der Koordinaten aus der Gleichung für g1 führt zu $$ \begin{align} & (5-t-2)^2 +(-1+t+1)^2 + (1 + t - 1)^2 = 9 \\ &\Leftrightarrow (3 - t)^2 + t^2 + t^2 = 9 \\ &\Leftrightarrow 9 - 6t + t^2 + 2t^2 = 9 \\ &\Leftrightarrow 3t^2 - 6t = 0 \end{align} $$ mit $t_1 = 0$ und $t_2 = 2$ als Lösungen, die wir wieder in die Geradengleichung einsetzen. Die zwei Durchstoßpunkte sind dann $S_1(5|-1|1)$ und $S_2(3|1|3)$.

    $ K \cap g_2 $: Wir gehen mit $x_1 = 5 + 2t$, $x_2 = 1$ und $x_3 = 2 + t$ wieder in die Kugelgleichung: $$ \begin{align} & (5-t-2)^2 +(-1+1)^2 + (2 - t - 1)^2 = 9 \\ &\Leftrightarrow 9 + 12t + 4t^2 + 4 + t^2 - 2t +1 = 9 \\ &\Leftrightarrow 5t^2 +10t + 5 = 0 \end{align} $$ Die Lösungsformel hat nur eine Lösung $t = -1$, die wir in die Gleichung für $g_2$ einsetzen, was den Berührpunkt $B(3|1|3)$ ergibt.

    $ K \cap g_3 $: Wie in den zwei obigen Fällen kommen wir auch hier auf eine quadratische Gleichung für $t$: $$ (2+2t-2)^2 +42 +(1-t-1)^2 = 9 \Leftrightarrow 5t^2 = -7 $$ Diese Gleichung hat keine Lösung. Die Gerade schneidet die Kugel deshalb in keinem Punkt.

 

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