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Merke
  • Ebenen können Kugeln passieren, tangieren oder in einem Kreis schneiden. Um rauszufinden, was der Fall ist, rechnest Du den Abstand $d(E;M)$ vom Kugelmittelpunkt $M$ zur Ebene E mit Hilfe der Hesseschen Normalform und vergleichst ihn mit dem Kugelradius $r$. Dabei können drei Fälle auftreten.
  • $d(E;M) > r$: Die Ebene schneidet die Kugel nicht, und es gibt somit nichts zu rechnen.
  • $d(E;M) = r$: Die Ebene ist eine Tangentialebene an die Kugel in einem Berührpunkt $B$. $B$ ist dabei der Lotfußpunkt der Lotgeraden durch $M$ auf $E$.
  • $d(E;M) \lt r$: In dem Fall schneiden sich Ebene und Kugel in einem Schnittkreis mit dem Mittelpunkt $M'$ und dem Radius $r'$. Dabei ist $M'$ wieder der Lotfußpunkt der Lotgeraden durch $M$ auf $E$.
    Jetzt zu $r'$: Nimm irgendeinen Punkt $S$ auf dem Schnittkreis, dann ist das Dreieck $MSM'$ rechtwinklig mit der Hypothenuse $d(M; S) = r$ und den Katheten $d(M'; M) = d(M; E)$ und $d(S;M') = r'$. Mit dem Satz von Pythagoras folgt dann für den Schnittkreisradius $r' = \sqrt{r^2 - d(E;M)^2}$.

 

 

Beispiel

Wir gehen aus von einer Kugel und drei Ebenen mit den Gleichungen:

$$ \begin{align} K &: (x1 -4)^2 +(x2 - 2)^2 +(x3 +1)^2 = 49 \\ E_1 &: 3x_1 - 4x_2 - 5x_3 + 41 = 0 \\ E_2 &: 3x_1 + 2x_2 - 6x_3 + 27 = 0 \\ E_3 &:-2x_1 +2x_2 +x_3 -4=0 \end{align} $$

$ E_1 \cap K$: Der Abstand von $E_1$ zum Kugelmittelpunkt $M(4|2|-1)$ beträgt $d(M ; E_1 ) = \sqrt{50}$. Da er größer als der Kugelradius $ r=7$ ist, passiert die Ebene die Kugel, es gibt also keinen Schnittpunkt.

$ E_2 \cap K$: Wegen $d(M;E2) = 7$ berührt $E_2$ die Kugel in einem Punkt $B$. Um diesen auszurechnen, bestimmen wir die Gleichung der Lotgeraden durch $M$ auf $E_2$. Dabei ergibt sich $$ l : \vec x = \left(\begin{matrix} 4 \\2 \\ -1 \end{matrix} \right) +t\left(\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{matrix} \right) $$ $B$ erhalten wir, wenn wir den Lotfußpunkt (den Schnittpunkt der Lotgeraden mit $E_2$) berechnen. Dabei erhält man für $B$ die Koordinaten $(1|0|5)$.

$ E_3 \cap K$: Hier ist $d(M;E3) = 3 \lt 7$, es gibt also einen Schnittkreis. Genauso wie bei der Berechnung des Berührpunktes gehen wir auch bei der Berechnung des Schnittkreismittelpunktes $M'$ vor: Die Lotgerade von $E_3$ durch $M$ hat die Gleichung: $$ l : \vec x = \left(\begin{matrix} 4 \\2 \\ -1 \end{matrix} \right) +t\left(\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{matrix} \right) $$ Daraus folgen für $M'$ als Lotfußpunkt von $l$ die Koordinaten $(2|4|0)$. Für den Schnittkreisradius $r'$ gilt $r'=\sqrt{r^2-d(E_3;M)^2}=\sqrt{7^2-3^2}=\sqrt{40} $.

 

Online Rechner: Kugel Formel Rechner

Gebe bitte den Kugel Radius an:

Kugel-Formel: Volumen, Fläche, Oberfläche, Umfang, Mantel
Radius: Oberfläche:  
   

Volumen:

 
   

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