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Grafisches Ableiten Schritt-für-Schritt Vorgehen

Untersuchung einer Funktion anhand des Graphen

 

 

Grafisches Ableiten Schritt-für-Schritt Vorgehen

  1. Zuerst suche in der Originalfunktion die Maxima, Minima und eventuelle Wendestellen.
  2. Dann zeichne in der 1. Ableitung bei jedem x-Wert wo f ein Maximum oder Minimum hat eine Nullstelle ein.
  3. In der 1. Ableitung muss bei jedem x-Wert wo f eine Wendestelle hat ein Maximum oder ein Minimum sein.
  4. Es gelten die folgenden Zusammenhänge:
    • $f(x)$ Maximum, Minimum = $f'(x)$ Nullstelle
    • $f(x)$ Wendestelle = $f'(x)$ Maximum oder Minimum
    • Steigung positiv = $f'(x)$ hat positive y-Werte
    • Steigung negativ = $f'(x)$ hat negative y-Werte
  5. Grafisches ableiten
    Ableitung von Funktionen

 

 

Untersuchung einer Funktion anhand des Graphen

Die Skizzee zeigt den Graphen der Funktion $f(x) = 0,05 \cdot (x^5 - 8x^3 - x^2) +1 $. Untersuche jeweils die folgenden Aussagen:

  1. Skizzieren den Graph der Ableitungsfunktion $f'(x)$
  2. $f'(x)$ hat eine doppelte Nullstelle.
  3. $f'(x)$ hat drei Nullstellen
  4. Der Graph von $f'(x)$ hat im Intervall $]- \infty; 0]$ einen Hochpunkt
  5. Der Graph von $f'(x)$ hat im Intervall $]- \infty; 0]$ einen Tiefpunkt
  6. Die Graphen von $f(x)$ und $f'(x)$ schneiden sich im Intervall $[0 ; 2,5]$ genau einmal
  7. Grafisches Ableiten Aufgabe
    Grafisches Ableiten Aufgabe

Lösung

  1. Hier ist der Ableitung der Funktion

    Grafisches Ableiten Aufgabe
    Grafisches Ableiten Lösung

  2. $f'(x)$ hat eine doppelte Nullstelle bei $x_1= 0$, da $f(x)$ bei $x_1$ eine waagrechte Tangente hat und dort monoton fällt
  3. $f(x)$ hat drei Stellen mit waagrechter Tangente und $f'(x)$ hat damit drei Nullstellen
  4. Der Graph von $f'(x)$ hat im Intervall $]- \infty; 0]$ keinen Hochpunkt, denn es gibt in diesem Intervall keine "steilste" Stelle des Graphen von $f(x)$
  5. Der Graph von $f'(x)$ hat im Intervall $]- \infty; 0]$ einen Tiefpunkt, denn es gibt in diesem Intervall für den Graphen eine Stelle mit "maximaler negativer" Steigung
  6. Die Graphen von $f(x)$ und $f'(x)$ schneiden sich im Intervall $[0 ; 2,5]$ genau einmal, denn $f'(x)$ nimmt in $[1,5 ; 2,2]$ von ca. -1,5 auf ca. 0 monoton zu während $f'(x)$ in diesem Intervall von 0 auf ca. -1 abnimmt.

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