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Merke

Hoch- bzw. Tiefpunkte einer Funktion sind Kurvenpunkte, die in einer gewissen Umgebung die größten bzw. kleinsten Funktionswerte haben. Extremstellen sind die $x$-Koordinaten solcher Extrempunkte. Um die Extrempunkte einer Funktion $f$ zu bestimmen, gehst Du am besten so vor:

 

 

  1. Löse die Gleichung $f′(x) = 0$ nach $x$ auf. Die Lösungen bezeichnen wir der Größe nach mit $x_1$, $x_2$ usw. bis $x_n$, so dass $x_1$ der kleinste Wert ist: $x_1 \lt x_2 \lt ... \lt x_n $.
  2. Jede Lösung von $x_1$ bis $x_n4$ setzt Du jetzt in die zweite Ableitung $f''$ ein. Ergibt sich dann $f''(x_k) \lt 0$ für $x_k$, dann hat $f$ an der Stelle $x_k$ einen Hochpunkt. Gilt $f''(x) \gt 0$, dann ist bei $x_k$ ein Tiefpunkt. Bei $f''(x_k) = 0$ untersuchst Du ob $f'$ bei $x_k$ einen Vorzeichenwechsel hat.
    Dazu nimmst Du einen Wert $a$, der zwischen $x_k$ und der nächstkleineren Stelle $x_{k_1}$ liegt, und einen Wert $b$ zwischen $x_k$ und der nächstgrößeren Stelle $x_{k+1}$. Gibt es keine nächstkleinere bzw. -größere Stelle, dann reicht es, wenn Du $a \lt x_k$ bzw. $x_k \lt b$ wählst.
    Ist jetzt $f'(a) \gt 0$ und $f'(b) \lt 0$, dann ist bei xk ein Hochpunkt. Gilt $f'(a) \lt 0$ und $f'(b) \gt 0$, dann hat $f$ bei $x_k$ einen Tiefpunkt. Haben $f'(a)$ und $f'(b)$ dasselbe Vorzeichen, dann ist an der Stelle $x_k$ kein Extremwert.
  3. Berechne zu jeder Extremstelle $x_k$ den Funktionswert $f(x_k)$ und schreib den dazugehörigen Extrempunkt als $H(x_k|f(x_k))$ oder $T(x_k|f(x_k))$ auf, je nachdem, ob dort ein Hoch- oder Tiefpunkt ist.

 

 

Beispiel

Beispiel 1: Wir sehen uns die Funktion $f(x) = x^4 +4x^3$ mit $f'(x) = 4x^3 + 12x^2$ und $f''(x) = 12x^2 + 24x$ an. Es gilt: $$ f'(x) = 0 \Leftrightarrow 4x3 +12x2 = 0 \Leftrightarrow x^2(4x+12) = 0 $$ mit den Lösungen $x_1 = -3$ und $x_2 = 0$.

Wegen $f''(-3) = 36 \gt 0$ hat $f$ an der Stelle $-3$ einen Tiefpunkt. Für $x_2 = 0$ gilt $f''(0) = 0$, und wir schauen deshalb, ob $f'$ bei $0$ einen Vorzeichenwechsel hat:

Für $a = -1$ (liegt zwischen $x_1$ und $x_2$) und $b = 1$ gilt $f'(a) = 8 \gt 0$ und $f'(b) = 16 \gt 0$, d.h. $f'$ hat bei $x_2 = 0$ keinen Vorzeichenwechsel, und deshalb hat $f$ dort keine Extremstelle. Der Funktionswert von $x_1 = -3$ ist $f(-3) = -27$. Ergebnis: $f$ hat genau einen Extrempunkt, nämlich den Tiefpunkt $T(-3|-27)$.

 

Beispiel 2: Als Nächstes untersuchen wir $f(x) =-1-e^{-x}$ auf Extrempunkte. Die Ableitung ist $f'(x) = e^{-x}$ und $f'(x) = 0$ somit äquivalent zu $-e^{-x} = 0 \Leftrightarrow e^{-x} = 0$.

Diese Gleichung hat keine Lösung, also hat $f$ keine Extrempunkte.

 

 

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